Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $f'$ und zweiter Ableitungsfunktion $f''$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle
Es gilt $f'(x_2)=0$ und $f''(x_2)\neq 0.$
$f'$ hat ein lokales Minimum an der Stelle $x_3.$

Die Abbildung 1 zeigt die Postion von $x_1$ , $x_2$ , und $x_3$

Begründen Sie, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Der Grad von $f$ ist mindestens $3$
$f'$ hat ein lokales Minimum an der Stelle $x_3$ .
Bei $x_3$ liegt somit ein Wendepunkt vor:
Es ist $f'(x_3)=0$ und da bei $x_3$ ein lokales Minimum vorliegt, ist $f''(x_3)=0$
(mit einem Vorzeichenwechsel von $f''$ bei $x_3$ ).
Die Funktion $f$ hat also einen Wendepunkt und die Gleichung $f''(x)=0$ hat mindestens eine Lösung. $f''$ muss also mindestens den Grad $1$ haben.
$\Rightarrow\; f(x)$ hat mindestens den Grad $3$
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Skizzieren Sie in Abbildung $1$ einen möglichen Graphen von $f.$ (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Der Graph der Funktion $f$ könnte z.B. so aussehen.
$($ Hier ist $x_1=1$ , $x_2=2$ und $x_3=3).$
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Der Grad von fff ist mindestens 333

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Der Grad von $f$ ist mindestens $3$