Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Eine in $ℝ$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $f^{'}$ und zweiter Ableitungsfunktion $f^{''}$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0.$
$f^{'}$ hat ein lokales Minimum an der Stelle $x_{3} .$

Die Abbildung 1 zeigt die Postion von $x_{1}$ , $x_{2}$ , und $x_{3}$

Begründen Sie, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Der Grad von $f$ ist mindestens $3$
$f^{'}$ hat ein lokales Minimum an der Stelle $x_{3}$ .
Bei $x_{3}$ liegt somit ein Wendepunkt vor:
Es ist $f^{'} (x_{3}) = 0$ und da bei $x_{3}$ ein lokales Minimum vorliegt, ist $f^{''} (x_{3}) = 0$
(mit einem Vorzeichenwechsel von $f^{''}$ bei $x_{3}$ ).
Die Funktion $f$ hat also einen Wendepunkt und die Gleichung $f^{''} (x) = 0$ hat mindestens eine Lösung. $f^{''}$ muss also mindestens den Grad $1$ haben.
$\Rightarrow f (x)$ hat mindestens den Grad $3$
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Skizzieren Sie in Abbildung $1$ einen möglichen Graphen von $f .$ (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Der Graph der Funktion $f$ könnte z.B. so aussehen.
$($ Hier ist $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = 3) .$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Der Grad von f ist mindestens 3

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Der Grad von $f$ ist mindestens $3$