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Abb. 2

Abb. 2

Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist.

Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph GfG_f der Funktion ff aus Aufgabe 1, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x=4x=-4 und x=4x=4 einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Dachgaube

Abb.3

  1. Geben Sie die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an. In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion gg mit g(x)=ax4+bg(x)=ax^4+b und geeigneten Elementen a,bRa,b\in\mathbb{R} mit der x-Achse einschließt (vgl. Abbildung 3). (2 P)

  2. Begründen Sie, dass aa negativ und bb positiv ist. (2 P)

  3. Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion FF von ff betrachtet.

    Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von FF. Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen. (2 P)

    Bild
  4. Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von FF aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).

    Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von aa rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50  m1{,}50\;\text{m} der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6  m26\;\text{m}^2 hat. (5 P)

  5. Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird GfG_f im Bereich 4x4-4\le x\le4 durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich 0x20\le x\le2 und ist Teil des Kreises mit dem Mittelpunkt M(01)M(0|-1) und Radius 33. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert. (5 P)