Die Breite der Gaube reicht von $x=-4$ bis $x=4$, das sind $8\;\text{m}$.

Die Höhe ist durch $f(0)=2\cdot e^{-\frac{1}{8}0^2}=2\cdot e^0=2$ gegeben, also $2\;\text{m}$.

Abschätzung der Gaubenfläche

Andererseits berechnet sich die Gaubenfläche mit

$A=2\cdot \displaystyle \int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d}x=2\cdot(F(4)-F(0))$

In allen drei Abbildungen ist $F(0)=0\;\Rightarrow\;A=2\cdot F(4)$

Nach der obigen Abschätzung muss dann $F(4)=\dfrac{9{,}7}{2}\approx 4{,}9$ sein.

Beim Graphen I liegt F(4) in der Nähe von 5 (etwas darunter), sodass der Graph I die richtige Stammfunktion anzeigt.

Graph II kann es nicht sein, da hier $F(4)\approx 1{,}7$ ist.

Graph III kann es auch nicht sein, da die Stammfunktion $F$ an der Stelle $x=4$ ein Extremum hat. Dann gilt: $F'(x)=f(x)=0$. Die Funktion $f$ müsste demnach bei $x=4$ eine Nullstelle haben. Das ist aber nicht der Fall.

Gaubenfläche

Liest man aus der Abbildung des Graphen I den Wert von $F(4)$ mit etwa $4{,}8$ ab, dann ergibt sich die gesamte Gaubenfläche zu:

$A=2\cdot \displaystyle \int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d}x=2\cdot(F(4)-F(0))$

Mit $F(4)=4{,}8$ und $F(0)=0$ folgt dann:

$A=2\cdot (4{,}8-0)=9{,}6$

Die Gaube hat einen Flächeninhalt von etwa $9{,}6 \;\text{m}^2$.

Wesentliche Schritte eines Lösungswegs zur Bestimmung des Parameters a

1. Die schraffierte Fläche soll den Flächeninhalt $6\;\text{m}^2$ haben.

Die gesamte Gaubenfläche beträgt etwa $9{,}6 \;\text{m}^2$.

Die Fensterfläche beträgt dann:

$A_{Fenster}=A_{gesamt}-A_{schraffiert}=9{,}6 \;\text{m}^2-6 \;\text{m}^2=3{,}6 \;\text{m}^2$

2. Die Fensterhöhe soll $1{,}5 \;\text{m}$ betragen, sodass die Funktion $g(x)=ax^4+1{,}5$ lautet.

3. Zur Flächenberechnung des Fensters ist noch die Berechnung der Nullstellen der Funktion $g(x)$ erforderlich. Setze $g(x)= 0$ und berechne $x_N$ in Abhängigkeit von $a$.

4. Wähle die rechts liegende Nullstelle und berechne die Fensterfläche:

$A_{Fenster}=2\cdot \displaystyle \int_{0}^{x_N} (ax^4+1{,}5) \mathrm{d}x=3{,}6$

Die Berechnung der Gleichung unter 4. führt zu dem gesuchten Wert für den Parameter $a$.

Mittelpunktswinkel des zu dem Kreisbogen gehörenden Kreissektors

Der entsprechende Kreissektor ist in der Abbildung braun gefärbt. Zu diesem Kreissektor ist der Mittelpunktswinkel gesucht (in der Abbildung $\beta$ genannt).

Zur Berechnung dieses Winkels wird das rechtwinklige grüne Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ betrachtet. Die Hypotenuse dieses Dreiecks ist der Kreisradius $r=3$ und eine Kathete hat die Länge $2$, sodass sich der Winkel $\alpha$ berechnen lässt.

$\cos{\alpha}=\dfrac{2}{3}\;\Rightarrow\;\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 48{,}19^\circ$

Gesucht ist aber der Winkel $\beta$:

$\beta=90^\circ-\alpha=90^\circ-48{,}19^\circ=41{,}81^\circ$

Der Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors beträgt $41{,}81^\circ$.

Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie

Es muss die Kreisbogenlänge mit der Formel $b=2\pi r\cdot\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ berechnet werden.

Der Näherungswert für die Länge $p$ der oberen Profillinie ist dann:

$p=4\cdot b=4\cdot 2{,}19=8{,}76$

Die Länge der oberen Profillinie beträgt etwa $8{,}76 \;\text{m}$.