🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

  1. 1

    Gegeben ist die in definierte Funktion f:x2e18x2. Abb. 1 zeigt den Graphen Gf von f, der die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

    Graph G_f

    Abb. 1

    1. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (2 P)

    2. Der Punkt W(2|2e12) ist einer der beiden Wendepunkte von Gf. Die Tangente an Gf im Punkt W wird mit w bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von w und berechnen Sie die Stelle an der w die x-Achse schneidet. (5 P)

      (zur Kontrolle: f(x)=12xe18x2)

    3. Betrachtet wird für jeden Wert c+ das Rechteck mit den Eckpunkten P(c|0),Q(c|0),R(c|f(c)) und S.

      Zeichnen Sie für c=2 das Rechteck PQRS in Abb. 1 ein. (1 P)

    4. Berechnen Sie denjenigen Wert von c, für den QR=1 gilt. (3 P)

    5. Geben Sie in Abhängigkeit von c die Seitenlängen des Rechtecks PQRS an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term

      A(c)=4ce18c2 gegeben ist. (3 P)

    6. Es gibt einen Wert von c, für den der Flächeninhalt A(c) des Rechtecks PQRS maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von c. (4 P)

    7. Betrachtet werden für k die in ];0] definierten Funktionen

      fk:xf(x)+k. Somit gilt f0(x)=f(x) wobei sich f0 und f im Definitionsbereich unterscheiden.

      Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von fk, dass fk für jeden Wert von k umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von f0. (4 P)

    8. Geben Sie alle Werte von k an, für die der Graph von fk und der Graph der Umkehrfunktion von fk keinen gemeinsamen Punkt haben. (2 P)

  2. 2

    Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist.

    Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph Gf der Funktion f aus Aufgabe 1, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x=4 und x=4 einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

    Abb. 2

    Abb. 2

    Dachgaube

    Abb.3

    1. Geben Sie die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an. In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion g mit g(x)=ax4+b und geeigneten Elementen a,b mit der x-Achse einschließt (vgl. Abbildung 3). (2 P)

    2. Begründen Sie, dass a negativ und b positiv ist. (2 P)

    3. Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion F von f betrachtet.

      Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von F. Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen. (2 P)

      Bild
    4. Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von F aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).

      Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von a rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6m2 hat. (5 P)

    5. Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird Gf im Bereich 4x4 durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich 0x2 und ist Teil des Kreises mit dem Mittelpunkt M(0|1) und Radius 3. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert. (5 P)


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?