🎓 Ui, fast schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

  1. 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x2e18x2f:x\mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}. Abb. 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff, der die xx-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

    Graph G_f

    Abb. 1

    1. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der y-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass GfG_f symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (2 P)

    2. Der Punkt W(22e12)W(-2|2e^{-\frac{1}{2}}) ist einer der beiden Wendepunkte von GfG_f. Die Tangente an GfG_f im Punkt WW wird mit ww bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von ww und berechnen Sie die Stelle an der ww die x-Achse schneidet. (5 P)

      (zur Kontrolle: f(x)=12xe18x2f'(x)=-\dfrac{1}{2}x\cdot e^{-\frac{1}{8}x^2})

    3. Betrachtet wird für jeden Wert cR+c\in \mathbb{R}^+ das Rechteck mit den Eckpunkten P(c0),Q(c0),R(cf(c))P(-c|0), Q(c|0), R(c|f(c)) und SS.

      Zeichnen Sie für c=2c=2 das Rechteck PQRSPQRS in Abb. 1 ein. (1 P)

    4. Berechnen Sie denjenigen Wert von cc, für den QR=1\overline{QR}=1 gilt. (3 P)

    5. Geben Sie in Abhängigkeit von cc die Seitenlängen des Rechtecks PQRSPQRS an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term

      A(c)=4ce18c2A(c)=4c\cdot e^{-\frac{1}{8}c^2} gegeben ist. (3 P)

    6. Es gibt einen Wert von cc, für den der Flächeninhalt A(c)A(c) des Rechtecks PQRSPQRS maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von cc. (4 P)

    7. Betrachtet werden für kRk\in \mathbb{R} die in ];0] ]- \infty;0] definierten Funktionen

      fk:xf(x)+kf_k: x\mapsto f(x)+k. Somit gilt f0(x)=f(x)f_0(x)=f(x) wobei sich f0f_0 und ff im Definitionsbereich unterscheiden.

      Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von fkf_k, dass fkf_k für jeden Wert von kk umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von f0.f_0. (4 P)

    8. Geben Sie alle Werte von kk an, für die der Graph von fkf_k und der Graph der Umkehrfunktion von fkf_k keinen gemeinsamen Punkt haben. (2 P)

  2. 2
    Abb. 2

    Abb. 2

    Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist.

    Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph GfG_f der Funktion ff aus Aufgabe 1, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x=4x=-4 und x=4x=4 einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

    Dachgaube

    Abb.3

    1. Geben Sie die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an. In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion gg mit g(x)=ax4+bg(x)=ax^4+b und geeigneten Elementen a,bRa,b\in\mathbb{R} mit der x-Achse einschließt (vgl. Abbildung 3). (2 P)

    2. Begründen Sie, dass aa negativ und bb positiv ist. (2 P)

    3. Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion FF von ff betrachtet.

      Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von FF. Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen. (2 P)

      Bild
    4. Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von FF aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).

      Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von aa rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50  m1{,}50\;\text{m} der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6  m26\;\text{m}^2 hat. (5 P)

    5. Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird GfG_f im Bereich 4x4-4\le x\le4 durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich 0x20\le x\le2 und ist Teil des Kreises mit dem Mittelpunkt M(01)M(0|-1) und Radius 33. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert. (5 P)


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?