Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f:x\mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}$ . Abb. 1 zeigt den Graphen $G_{f}$ von $f$ , der die $x$ -Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{f}$ mit der y-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass $G_{f}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (2 P)
Der Punkt $W(-2|2e^{-\frac{1}{2}})$ ist einer der beiden Wendepunkte von $G_{f}$ . Die Tangente an $G_{f}$ im Punkt $W$ wird mit $w$ bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von $w$ und berechnen Sie die Stelle an der $w$ die x-Achse schneidet. (5 P)
(zur Kontrolle: $f'(x)=-\dfrac{1}{2}x\cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}$ )
Betrachtet wird für jeden Wert $c\in \mathbb{R}^+$ das Rechteck mit den Eckpunkten $P (- c ∣ 0), Q (c ∣ 0), R (c ∣ f (c))$ und $S$ .
Zeichnen Sie für $c = 2$ das Rechteck $P Q R S$ in Abb. 1 ein. (1 P)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $c$ , für den $\overline{QR}=1$ gilt. (3 P)

Geben Sie in Abhängigkeit von $c$ die Seitenlängen des Rechtecks $P Q R S$ an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term
$A(c)=4c\cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}$ gegeben ist. (3 P)

Es gibt einen Wert von $c$ , für den der Flächeninhalt $A (c)$ des Rechtecks $P Q R S$ maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von $c$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Maximaler Flächeninhalt

Berechne $A^{'} (c)$ und setze $A^{'} (c) = 0$ , beachte die Kettenregel:

$\displaystyle A'(c)$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(1\cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}+c\cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}c\right)\right)$
	↓	Klammere $e^{-\frac{1}{8}c^2}$ aus und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 4e^{-\frac{1}{8}c^2}\left(1-\dfrac{1}{4}c^2\right)$
	↓	Multipliziere die $4$ in die Klammer.
	$=$	$\displaystyle e^{-\frac{1}{8}c^2}\left(4-c^2\right)$

Es ist $A'(c)=e^{-\frac{1}{8}c^2}\left(4-c^2\right)$ . Setze nun $A^{'} (c) = 0$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle e^{-\frac{1}{8}c^2}\left(4-c^2\right)$	$\displaystyle :e^{-\frac{1}{8}c^2}$
	↓	Da $e^{-\frac{1}{8}c^2}$ für alle $c$ größer null ist, darf durch $e^{-\frac{1}{8}c^2}$ geteilt werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4-c^2$	$\displaystyle -c^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \pm2$
	↓	Wegen $c\in \mathbb{R}^+$ entfällt die negative Lösung
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 2$

Es bleibt zu prüfen, ob ein Maximum vorliegt.

Hier kann entweder berechnet werden, ob $A^{''} (2) < 0$ ist oder ob es an der Stelle $c = 2$ einen Vorzeichenwechsel von $A^{'} (c)$ gibt.

Hier wird der zweite Weg beschritten.

$A'(1)=e^{-\frac{1}{8}1^2}\left(4-1^2\right)=e^{-\frac{1}{8}}\cdot 3>0$

$A'(3)=e^{-\frac{1}{8}3^2}\left(4-3^2\right)=e^{-\frac{9}{8}}\cdot (-5)<0$

Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von $A^{'} (c)$ an der Stelle $c = 2$ von $+ \mapsto -$ , d.h. der Flächeninhalt ist für $c = 2$ maximal.

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Betrachtet werden für $k\in \mathbb{R}$ die in $]- \infty;0]$ definierten Funktionen
$f_k: x\mapsto f(x)+k$ . Somit gilt $f_{0} (x) = f (x)$ wobei sich $f_{0}$ und $f$ im Definitionsbereich unterscheiden.
Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von $f_{k}$ , dass $f_{k}$ für jeden Wert von $k$ umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von $f_{0} .$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Erste Ableitung von $f_{k}$
$f_k(x)=2e^{-\frac{1}{8}x^2}+k$
Berechne die erste Ableitung von $f_{k} (x)$ . Beachte die Kettenregel.
$f_k'(x)=2e^{-\frac{1}{8}x^2}\cdot \left(-\dfrac{1}{8}\cdot 2x\right)$
$f_k'(x)=-\dfrac{1}{2}xe^{-\frac{1}{8}x^2}$
Für alle $x\in ]- \infty;0[$ ist $f_{k}^{'} (x) > 0$
Lediglich für $x = 0$ ist $f_{k}^{'} (0) = 0$ .
Die singulären Nullstellen der Ableitung verhindern die strenge Monotonie nicht. Die Funktion ist streng monoton steigend und damit für jeden Wert von $k$ umkehrbar im Definitionsbereich $]- \infty;0]$ .
Für die Zeichnung der Umkehrfunktion $f_0^{-1}(x)$ ist es hilfreich, die Winkelhalbierende $y = x$ einzuzeichnen.
Der Graph von $G_{f}$ wird dann für $x\in ]-\infty;0]$ an der Winkelhalbierenden gespiegelt.
Man markiert einige Punkte auf dem Graphen von $f_{0}$ und spiegelt diese dann an der Winkelhalbierenden (und verbindet diese Punkte entsprechend).
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Geben Sie alle Werte von $k$ an, für die der Graph von $f_{k}$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_{k}$ keinen gemeinsamen Punkt haben. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Überlegungen zur Lösung
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.
Die Graphen von $f_{k} (x)$ verlaufen entweder nur im II. Quadranten (oder im II. und III. Quadranten) oberhalb der 1. Winkelhalbierenden.
Die Umkehrfunktionen $f_k^{-1}(x)$ verlaufen nur im IV. (oder im III. und IV. Quadranten) unterhalb der 1. Winkelhalbierenden.
Die beiden Funktionen können sich also nicht schneiden, außer sie schneiden die 1. Winkelhalbierende selbst.
Wann schneiden die Graphen die 1. Winkelhalbierende?
Für diesen Schnittpunkt muss $f_k(0)\le 0$ sein.
In der Aufgabe war aber gefragt, wann der Graph von $f_{k}$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_{k}$ keinen gemeinsamen Punkt haben. Das ist für alle Werte von $k > - 2$ der Fall.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Zwei ausgewählte Beispiele:
$f_{-1}(x)$ und die Umkehrfunktion $f_{-1}^{-1}(x)$ schneiden sich nicht.
$f_{-2}(x)$ und die Umkehrfunktion $f_{-2}^{-1}(x)$ schneiden sich im Punkt $A (0 ∣ 0)$ .
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Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist.

Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph $G_{f}$ der Funktion $f$ aus Aufgabe 1, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen $x = - 4$ und $x = 4$ einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Geben Sie die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an. In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion $g$ mit $g (x) = a x^{4} + b$ und geeigneten Elementen $a,b\in\mathbb{R}$ mit der x-Achse einschließt (vgl. Abbildung 3). (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Die Breite der Gaube reicht von $x = - 4$ bis $x = 4$ , das sind $8\;\text{m}$ .
Die Höhe ist durch $f(0)=2\cdot e^{-\frac{1}{8}0^2}=2\cdot e^0=2$ gegeben, also $2\;\text{m}$ .
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Begründen Sie, dass $a$ negativ und $b$ positiv ist. (2 P)
Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion $F$ von $f$ betrachtet.
Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von $F$ . Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Abschätzung der Gaubenfläche
Zeichnet man ein Rechteck in Abb. 3 ein, dass als Grundseite die Länge $8$ und als Höhe den y-Wert des Wendepunktes $2\cdot e^{-\frac{1}{2}}\approx 1{,}21$ hat, dann ergibt sich als (etwas zu großer) Näherungswert für den Flächeninhalt $A=8\cdot 1{,}21\approx 9{,}7\;\text{m}^2.$
Andererseits berechnet sich die Gaubenfläche mit
$A=2\cdot \displaystyle \int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d}x=2\cdot(F(4)-F(0))$
In allen drei Abbildungen ist $F(0)=0\;\Rightarrow\;A=2\cdot F(4)$
Nach der obigen Abschätzung muss dann $F(4)=\dfrac{9{,}7}{2}\approx 4{,}9$ sein.
Beim Graphen I liegt F(4) in der Nähe von 5 (etwas darunter), sodass der Graph I die richtige Stammfunktion anzeigt.
Graph II kann es nicht sein, da hier $F(4)\approx 1{,}7$ ist.
Graph III kann es auch nicht sein, da die Stammfunktion $F$ an der Stelle $x = 4$ ein Extremum hat. Dann gilt: $F^{'} (x) = f (x) = 0$ . Die Funktion $f$ müsste demnach bei $x = 4$ eine Nullstelle haben. Das ist aber nicht der Fall.
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Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von $F$ aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).
Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von $a$ rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von $1{,}50\;\text{m}$ der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt $6\;\text{m}^2$ hat. (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt mit Integral
Gaubenfläche
Liest man aus der Abbildung des Graphen I den Wert von $F (4)$ mit etwa $4,8$ ab, dann ergibt sich die gesamte Gaubenfläche zu:
$A=2\cdot \displaystyle \int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d}x=2\cdot(F(4)-F(0))$
Mit $F (4) = 4,8$ und $F (0) = 0$ folgt dann:
$A=2\cdot (4{,}8-0)=9{,}6$
Die Gaube hat einen Flächeninhalt von etwa $9{,}6 \;\text{m}^2$ .
Wesentliche Schritte eines Lösungswegs zur Bestimmung des Parameters a
1. Die schraffierte Fläche soll den Flächeninhalt $6\;\text{m}^2$ haben.
Die gesamte Gaubenfläche beträgt etwa $9{,}6 \;\text{m}^2$ .
Die Fensterfläche beträgt dann:
$A_{Fenster}=A_{gesamt}-A_{schraffiert}=9{,}6 \;\text{m}^2-6 \;\text{m}^2=3{,}6 \;\text{m}^2$
2. Die Fensterhöhe soll $1{,}5 \;\text{m}$ betragen, sodass die Funktion $g(x)=ax^4+1{,}5$ lautet.
3. Zur Flächenberechnung des Fensters ist noch die Berechnung der Nullstellen der Funktion $g (x)$ erforderlich. Setze $g (x) = 0$ und berechne $x_{N}$ in Abhängigkeit von $a$ .
4. Wähle die rechts liegende Nullstelle und berechne die Fensterfläche:
$A_{Fenster}=2\cdot \displaystyle \int_{0}^{x_N} (ax^4+1{,}5) \mathrm{d}x=3{,}6$
Die Berechnung der Gleichung unter 4. führt zu dem gesuchten Wert für den Parameter $a$ .
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Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird $G_{f}$ im Bereich $-4\le x\le4$ durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich $0\le x\le2$ und ist Teil des Kreises mit dem Mittelpunkt $M (0 ∣ - 1)$ und Radius $3$ . Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert. (5 P)

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$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2e^{-\frac{1}{8}c^2}$	$\displaystyle :2$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle e^{-\frac{1}{8}c^2}$	$\displaystyle \ln{}$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{8}c^2$	$\displaystyle \cdot(-8)$
$\displaystyle -8\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle c^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \pm\sqrt{-8\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}$	$=$	$\displaystyle c$
	↓	Wegen $c\in \mathbb{R}^+$ entfällt die negative Wurzel.
$\displaystyle \sqrt{-8\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)}$	$=$	$\displaystyle c$

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 3$ und $\alpha=41{,}81^\circ$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\pi\cdot 3\cdot\dfrac{41{,}81^\circ}{360^\circ}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}19$

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Maximaler Flächeninhalt

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Erste Ableitung von fkf_kfk​

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Überlegungen zur Lösung

Wann schneiden die Graphen die 1. Winkelhalbierende?

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Abschätzung der Gaubenfläche

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Gaubenfläche

Wesentliche Schritte eines Lösungswegs zur Bestimmung des Parameters a

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Mittelpunktswinkel des zu dem Kreisbogen gehörenden Kreissektors

Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie

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Erste Ableitung von $f_{k}$