Teilaufgabe a

Berechnung von $\overline{\mathrm{AC}}$

1) Berechne zunächst den Winkel $\mathrm{CMA}$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\sphericalangle\mathrm{CMA}=180^\circ-\sphericalangle \mathrm{BMC}\;=\;180^\circ-58^\circ=122^\circ\;\end{array}$

2) Der Winkel $\mathrm{CMA}$ liegt der Seite $\overline{AC}$ gegenüber, mit dem Kosinussatz kannst Du die Seite $\overline{AC}$ berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline {\mathrm{AC}}^2&=&\overline {\mathrm{AM}}^2+\overline {\mathrm{MC}}^2-2\cdot \overline {\mathrm{AM}} \cdot \overline {\mathrm{MC}} \cdot \cos \sphericalangle \mathrm{CMA} \\ &=&(2\ \text{cm})^2 + (4\ \text{cm})^2 - 2 \cdot 2\ \text{cm}\cdot4\ \text{cm}\cdot\cos122^\circ \\ &=&4\ \text{cm}^2 + 16\ \text{cm}^2 - 16\ \text{cm}^2\cdot\cos122^\circ \\ &=&20\ \text{cm}^2 - 16\ \text{cm}^2\cdot(-0{,}53)\\ &=& 28{,}48\ \text{cm}^2\end{array}$

Ziehe nun die Wurzel. Da $[AC]$ eine Länge ist, kannst das negative Ergebnis vom Wurzelziehen weggelassen werden.

$\overline {\mathrm{AC}} =$ $\sqrt{28{,}48\ \text{cm}^2} = 5{,}34\ \text{cm}$

3) Jetzt kannst Du mit dem Sinussatz den Winkel $\mathrm{MAC}$ berechnen:

$\displaystyle\frac{\overline{MC}}{\sin\sphericalangle\mathrm{MAC}}=\frac{\overline{AC}}{\sin\sphericalangle\mathrm{CMA}}$

Umgestellt ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\sin\sphericalangle\mathrm{MAC}&=& \displaystyle\frac{\sin\sphericalangle\mathrm{CMA}}{\overline{AC}}\cdot \overline{MC}\\ \\&=& \displaystyle\frac{\sin 122°}{5{,}34\ \text{cm}}\cdot 4\ \text{cm} \end{array}$

$\sphericalangle\mathrm{MAC}=\sin^{-1}\left(\displaystyle\frac{\sin 122°}{5{,}34}\cdot 4\right) \approx 39{,}44\degree$

$\sphericalangle \mathrm{MAC} = \sphericalangle \mathrm{BAC} \approx 39{,}44 ^\circ.$

Hinweis: der Wert in der Zeichnung weicht vom errechneten Ergebnis ab, da wir bei 2) gerundet haben. Alle drei Werte werden als korrekt bewertet.

Teilaufgabe b

Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Kreisbogen $\overset{\frown}{BC}$ und den Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$.

Die Länge des Kreisbogens wird bestimmt durch den Radius des Kreissektors und seinem Winkel:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\overset{\frown}{BC} &=& \dfrac{2r\cdot \pi \cdot\sphericalangle BMC}{360^\circ}\\ \\ &=& \dfrac{2\cdot4\ \text{cm}\cdot \pi \cdot58^\circ}{360^\circ} \\ \\ &=& \dfrac{1456{,}96}{360}\ \text{cm}\\ \\ &\approx& 4{,}05\ \text{cm} \end{array}$

Nun addierst du nur noch die drei Längen und erhältst den Umfang $u$:

$u = \overline{AB} + \overline{AC} + \overset{\frown}{BC}$

$\phantom{u} = 6\ \text{cm} + 5{,}34\ \text{cm} + 4{,}05\ \text{cm} = 15{,}39\ \text{cm}$