Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-3|0)$ und $Q(5|0)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y=a\cdot x^2+ 0{,}5x+c$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$ , $c \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=-0{,}1x -2$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $a$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75$ hat.

Zeichnen Sie sodann die Gerade $g$ sowie die Parabel $p$ für $x \in [-4;7]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}$ ; $-5 \leqq x \leqq 8; \; -5 \leqq y \leqq 5$

Lösung zur Teilaufgabe a

Bei dieser Teilaufgabe sollst du eine Parabelfunktion aufstellen und danach den Graphen dieser in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Aufstellen der Parabelfunktion

Um die Parameter der Parabelfunktion zu bestimmen, setzt du die beiden Punkte $P$ und $Q$ jeweils in die Parabelgleichung ein und erhältst so ein Gleichungssystem.

Setze zuerst den Punkt $P(-3|0)$ in die Parabelgleichung $y=ax^2+0{,}5x+c$ ein.

$y=ax^2+0{,}5x+c$

$0 = a \cdot (-3)^2 + 0{,}5 \cdot (-3) +c$

$0 = 9a -1{,}5+c$

Daraus erhältst du deine erste Gleichung. Die zweite erhältst du durch Einsetzen von $Q(5|0)$ .

$y=ax^2+0{,}5x+c$

$0=a\cdot5^2+0{,}5\cdot5+c$

$0 = 25a +2{,}5 + c$

Diese zwei Gleichungen kannst du nun beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

$I \hspace{1cm} 0=9a-1{,}5+c$

$II\quad\quad~~0=25a+2{,}5+c$

Löse dazu die erste Gleichung nach $c$ auf.

$I' \hspace{1cm} c=-9a+1{,}5$

Setze $I'$ in die zweite Gleichung ein:

$I'\; \text{in} \; II:$

$0 = 25a + 2{,}5 + (-9a+1{,}5)$

$0 = 25a+2{,}5-9a+1{,}5$

$0 = 16a +4$

Löse diese Gleichung nach $a$ auf:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 16a+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle 16a$	$\displaystyle :16$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{16}$
	$=$	$\displaystyle -4$

Du erhältst $a=-0{,}25$ . Berechne nun mithilfe von $I'$ den Wert für $c$ .

$a$ in $I'$ :

$c=-9\cdot (-0{,}25) +1{,}5$

$c=3{,}75$

Setze $a$ und $c$ nun in die Parabelgleichung aus der Angabe ein.

$y=-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75$

Zeichnen der Parabel und der Geraden

Um die Parabel zu zeichnen, kannst du dir eine Wertetabelle über deinen Taschenrechner ausgeben lassen. Anschließend überträgst du die Punkte in dein Koordinatensystem.

Für die Gerade suchst du dir einen passenden Punkt, bei dem du anfangen kannst. Am besten funktioniert $x=0$ .

In diesem Fall erhältst du dann $g(0)=-0{,}1\cdot 0 -2 = -2$ . Damit erhältst du den Punkt $(0|-2)$ .

Von diesem Punkt ausgehend zeichnest du nun ein Steigungsdreieck für die Steigung $-0{,}1$ und zeichnest die Gerade ein.

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Punkte $A_n(x|-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n(x|-0{,}1x-2)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ .
Sie sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x \in ]-3{,}74; 6{,}14[$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ .
Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ . Dabei ist die Abszisse $x$ der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ .
Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
In dieser Teilaufgabe geht es darum, zwei Parallelogramme mit genauen Eckpunkten in die Zeichnung der Teilaufgabe a) einzuzeichnen.
Betrachte zuerst die Punkte $A_n$ und $B_n$ .
Die Punkte $A_n$ liegen auf der Parabel. Du kannst den ersten Punkt $A_1$ einzeichnen, indem du bei $x=-2$ den zugehörigen Punkt auf der Parabel markierst.
Die Punkte $B_n$ liegen auf der Geraden. Für $B_1$ bleibt $x=-2$ . Suche den zugehörigen Punkt auf der Geraden, zeichne ihn ein und beschrifte ihn!
Die beiden Punkte kannst du direkt mit der Strecke $A_1B_1$ verbinden, die parallel zur $y$ -Achse verläuft.
Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g(x)$ . Die Abszisse $x$ ist dabei um genau $2$ größer als bei den Punkten $B_n$ . Konkret bedeutet das also für unser erstes Parallelogramm:
$x = -2+2 = 0$
Zeichne den Punkt $C_1$ auf der Geraden bei $x=0$ ein!
Der Punkt $D_1$ soll nun dieselbe Abszisse haben wie der Punkt $C_1$ . Dadurch weißt du also, dass er auch auf der $y$ -Achse liegen muss.
Um ihn jetzt genau bestimmen zu können, musst du die Eigenschaften des Parallelogramms betrachten. Dabei sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.
Du weißt also, dass $D_1A_1$ parallel zu $B_1C_1$ sein muss. Damit ist diese Seite auch parallel zur Geraden $g(x)$ .
Zeichne eine parallele Gerade durch den Punkt $A_1$ und suche die Schnittstelle mit der $y$ -Achse, um den Punkt $D_1$ zu finden!
Für das zweite Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$ wiederholst du die oben genannten Schritte. $A_2$ und $B_2$ liegen bei $x=3$ . $C_2$ und $D_2$ liegen bei $x=5$ .
Du solltest folgendes Bild erhalten:
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Berechnen Sie die Länge der Strecke $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .
$[$ Ergebnis: $\overline{A_nB_n}(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75)\;\text{LE}$ $]$

Lösung zur Teilaufgabe c
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ angeben.
Du sollst also $\overline{A_nB_n}$ bestimmen. Dafür musst du dir die spezielle Lage der Punkte anschauen. Die Punkte $A_n$ liegen auf der Parabel $p(x)$ , die Punkte $B_n$ liegen auf $g(x)$ . Die $x$ -Werte der beiden Punkte sind immer gleich.
Die Länge der Strecke zwischen diesen Punkten ergibt sich dadurch, indem du den $y$ -Wert von $B_n$ von $A_n$ abziehst.
Da die $y$ -Werte jeweils durch die Funktionen $p(x)$ und $g(x)$ dargestellt werden, kannst du die folgende Rechnung aufstellen:
$\overline{A_nB_n}=p(x)-g(x)$
$\overline{A_nB_n}= -0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75-(-0{,}1x-2)$
$\overline{A_nB_n}= -0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75$
Du erhältst somit für die Strecke $\overline{A_nB_n}$ die von $x$ -abhängige Strecke $\overline{A_nB_n}(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75)\;\text{LE}$ .
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Überprüfen Sie rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt von $13 \, \text{FE}$ gibt.

Ja, es gibt ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $13 ~FE$ .
Nein, es gibt kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $13 ~FE$ .

Lösung zur Teilaufgabe d

Bei dieser Teilaufgabe sollst du herausfinden, ob es ein Parallelogramm $A_nB_nC_ND_n$ mit einem Flächeninhalt von $13\;\text{FE}$ gibt.

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich mithilfe der folgenden Formel bestimmen:

$A=g \cdot h$

Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die dazugehörige Höhe.

Die Seite $\overline{A_nB_n}$ hast du bereits bestimmt.

\displaystyle \overline{A_nB_n} = -0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75

Die dazugehörige Höhe entspricht in diesen Parallelogrammen immer genau dem Abstand der Abszissen von $B_n$ und $C_n$ .

Damit bleibt die Höhe immer bei einem Wert von $h=2$

Stelle nun den Term für den Flächeninhalt auf!

$A = \overline{A_nB_n} \cdot h$

$A(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75) \cdot 2\;\text{FE}$

$A(x)=(-0{,}5x^2+1{,}2x+11{,}5)\;\text{FE}$

Um zu entscheiden, ob es einen Flächeninhalt von $13\,\text{FE}$ gibt, musst du diesen Wert mit dem Term für den Flächeninhalt gleichsetzen.

$13 = -0{,}5x^2+1{,}2x+11{,}5$

Stelle diese Gleichung um, sodass $0$ auf der linken Seite steht.

$\displaystyle 13$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+1{,}2x+11{,}5$	$\displaystyle -13$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+1{,}2x-1{,}5$
	↓	Löse diese Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1{,}2\pm\sqrt{(1{,}2)^2-4\cdot(-0{,}5)\cdot(-1{,}5)}}{2\cdot(-0{,}5)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}2 \pm \overbrace{\sqrt{1{,}44-3}}^{\text{negativer Radikand}}}{-1}$

Unter der Wurzel in der Mitternachtsformel kommt ein negativer Wert heraus. Aus diesem Grund ist die Gleichung nicht lösbar.

Du kannst darauf folgern, dass es kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $13\,\text{FE}$ gibt.

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Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ . Berechnen Sie die $x$ -Koordinate der Punkte $A_3$ und $A_4$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. $[$ Teilergebnis: $\overline{B_nC_n}=2{,}01 \, \text{LE}$ $]$

Lösung zur Teilaufgabe e

In dieser Teilaufgabe sollst du die $x$ -Koordinaten der Punkte $A_3$ und $A_4$ der Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ bestimmen.

Grundlage zur Lösung dieser Aufgabe sind die Eigenschaften einer Raute. Bei Rauten haben alle vier Seiten die gleiche Länge.

Du weißt bereits, dass die Längen $B_nC_n$ und $D_nA_n$ bei jedem der Parallelogramme dieselbe Länge haben. Das ergibt sich durch ihre Lage auf der Geraden und dem festen Unterschied der Abszisse zwischen den Punkten.

Bestimme daher nun die Länge dieser Strecke!

Du kannst die Strecke über das Steigungsdreieck der Geraden berechnen, wobei das Steigungsdreieck an den Punkten $B_1$ und $C_1$ ansetzt. Siehe Skizze.

$\overline{B_nC_n}$ kannst du jetzt über den Satz des Pythagoras berechnen.

$\left(\overline{B_nC_n}\right)^2= 2^2+0{,}2^2$

$\overline{B_nC_n}=\sqrt{4+0{,}04}=2{,}01\;\text{LE}$

Bei einer Raute müssen nun die anderen beiden Seiten $A_nB_n$ und $C_nD_n$ dieselbe Länge, nämlich $2{,}01 \,\text{LE}$ haben.

In der Aufgabe c) hast du bereits eine Formel zur Bestimmung der Strecke $A_nB_n$ aufgestellt. Setze diese mit $2{,}01 \, \text{LE}$ gleich und löse nach $x$ auf!

$\displaystyle \overline{A_nB_n}$	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75$
$\displaystyle 2{,}01$	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75$	$\displaystyle -2{,}01$
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+0{,}6x+3{,}74$

Nutze die Mitternachtsformel, um diese Gleichung zu lösen:

$x_{3/4}=\dfrac{-0{,}6\pm\sqrt{0{,}6^2-4 \cdot (-0{,}25)\cdot 3{,}74}}{2 \cdot (-0{,}25)}$

Du erhältst:

$x_3 = -2{,}85$

$x_4=5{,}25$

Die $x$ -Werte der Punkte $A_3$ und $A_4$ sind $x_3 = -2{,}85$ und $x_4=5{,}25$ .

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Begründen Sie, dass es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck gibt.

Lösung zur Teilaufgabe f
Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass es kein Rechteck $A_nB_nC_nD_n$ gibt. Du kannst es zum Beispiel mit folgender Überlegung begründen:
Die Strecken $A_nB_n$ und $C_nD_n$ verlaufen immer entlang derselben Abszisse, sie sind also parallel zur $y$ -Achse.
Die Strecken $B_nC_n$ und $D_nA_n$ verlaufen immer auf/ bzw. parallel zur Geraden $g(x)$ .
Die Gerade $g(x)$ steht allerdings nicht senkrecht auf die $y$ -Achse. Es ist somit nicht möglich, dass es im Parallelogramm $A_nB_nC_nD_n$ rechte Winkel gibt.
Somit kann es kein Rechteck geben.
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Lösung zur Teilaufgabe a

Aufstellen der Parabelfunktion

Zeichnen der Parabel und der Geraden

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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Lösung zur Teilaufgabe f

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