Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $ABCDEF$ , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $\left[BC\right]$ ist. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\left[BC\right]$ , der Punkt $N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\left[EF\right]$ .

Es gilt: $\overline{AM}=8\ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\overline{AD}=9\ \text{cm}.$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEF$ , wobei die Strecke $\left[AM\right]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt:
Berechnen Sie sodann das Maß $\varphi$ des Winkels $BAC$ .

Lösung a
Wie du das Schrägbild des Prismas zeichnest, kannst du dir in diesem Applet ansehen:
Jetzt geht es noch darum das Maß des Winkels $\angle BAC$ zu berechnen. Dazu kannst du das rechtwinklige Dreieck $BMA$ ansehen, denn in diesem liegt der Winkel $\angle BAM$ , der genau halb so groß ist wie $\angle BAC$ .
Rechtwinkliges Dreieck mit Beschriftung
Um das Maß des Winkels $\angle BAM$ zu bestimmen kannst du den Tangens verwenden. In dem Dreieck ist $[BM]$ nämlich die Gegenkathete zu $\angle BAM$ und $[AM]$ die Ankathete. Die Länge $\overline{AM} = 8\ \text{cm}$ kennst du aus der Angabe und die Länge von $\overline{BM} = 0{,}5 \cdot 10\ \text{cm} = 5\ \text{cm}$ entspricht der Hälfte der Länge von $\overline{BC}$ .
Eingesetzt in die Gleichung des Tangens erhältst du dann:
Mit der Umkehrfunktion des Tangens erhältst du : $\angle BAM\ =\ \tan^{-1}\left(\dfrac{5}{8}\right) \approx 32°$
Das Maß des Winkels $\angle BAC$ entspricht nun genau dem doppelten der $32°$ , also:
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Zeichnen Sie die Strecke $[MD]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[MD]$ sowie das Maß $\epsilon$ des Winkels $NMD$ . $[\text{Ergebnisse}:\ =12{,}04\ \text{cm};\ 41{,}63\degree]$

Lösung b
Die Strecke in das Schrägbild einzuzeichnen ist ganz einfach:
Um die Länge der Strecke $[MD]$ und das Maß des Winkels $\epsilon$ zu berechnen ist es hilfreich sich das Dreieck $MND$ anzusehen:
Rechtwinkliges Dreieck
Wie du siehst ist das Dreieck $MND$ rechtwinklig. Die Strecke $[MD]$ ist darin die Hypotenuse. Da du die Längen der Katheten, $\overline {ND} = 8\ \text{cm}$ und $\overline{MN} = 9\ \text{cm}$ , kennst du bereits aus der Angabe, du kannst also den Satz des Pythagoras verwenden und erhältst:
Die Strecke $[MD]$ ist also $12{,}04\ \text{cm}$ lang.
Jetzt musst du noch das Maß von $\epsilon$ berechnen. Da du jetzt die Längen aller Strecken in dem Dreieck kennst, kannst du dafür den Sinus, Cosinus oder Tangens verwenden. Hier wird jetzt der Tangens verwendet, für Sinus und Cosinus erhältst du das selbe Ergebnis:
Verwende wieder die Umkehrfunktion des Tangens und du bekommst das Ergebnis:
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Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $[MD]$ mit $\overline{DS_n}$ $(x)$ = $x$ $\ \text{cm}$ , $x$ $\in \mathbb{R}$ und $x$ $\in$ $]0;12{,}04[$ . Für die Strecken $[S_nH_N]$ mit Punkten $H_n$ auf der Strecke $[MN]$ gilt: $[S_nH_n] \vert \vert [DN]$ . Zeichnen Sie die Strecke $[S_1H_1]$ für $x=4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.

Um die Länge der Strecke $[S_1H_1]$ zu berechnen kannst du den Sinus verwenden. Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck $MH_1S_1$ . Darin ist $[S_1H_1]$ die Gegenkathete des Winkels $\epsilon$ und $[MS_1]$ die Hypotenuse. Mit dem Sinus gilt also:
Das Maß des Winkels $\epsilon = 41{,}63°$ kennst du bereits, die Länge der Strecke $[MS_1]$ kannst du kurz berechnen: $\overline{MS_1} = \overline{MD} - \overline{DS_1} = 12{,}04\ \text{cm} - 4\ \text{cm} = 8{,}04\ \text{cm}$ . Das kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und sie nach $\overline{S_1H_1}$ auflösen:
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Punkte $Q_n \in[BE]$ und $R_n \in \text{[CF]}$ bilden zusammen mit den Punkten $M$ und N Drachenvierecke $MR_n NQ_n$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $H_n$ . Diese Drachenvierecke sind Grundflächen von Pyramiden $MR_n NQ_n S_n$ mit der Spitze $S_n$ . Zeichnen Sie die Pyramide $MR_1 NQ_1 S_1$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $MR_1 NQ_1 S_1$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)= (120-9{,}9x)\ \text{cm}^3$ .

Lösung d
Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, musst du ihre Grundfläche und ihre Höhe kennen. Die Höhe der Pyramide $MR_nNQ_nS_n$ entspricht der Länge $\overline{S_nH_n}$ und ihre Grundfläche ist die Fläche des Drachenvierecks $MR_nNQ_n$ .
Berechnung der Höhe $\overline{S_nH_n}$
Berechnung der Fläche des Drachenvierecks $MR_nNQ_n$
Die Diagonalen im Drachenviereck $MR_nNQ_n$ sind $\overline{Q_nR_n} = \overline{BC} = 10\ \text{cm}$ und $\overline{NM} = \overline{AD} = 9\ \text{cm}$ . Mit der Formel für den Flächeninhalt gilt also:
$A_{\text{Drachenviereck}} = \dfrac12 \cdot \overline{Q_nR_n} \cdot \overline{NM} = \dfrac12 \cdot 10\ \text{cm} \cdot 9\ \text{cm} = 45\ \text{cm}^2$
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Das Volumen der Pyramide $MR _2 NQ_2 S_2$ beträgt $25\%$ des Volumens des Prismas $ABCDEF.$ Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .
Der Winkel $MS_3 N$ hat das Maß $110°$ . Zeichnen Sie die Strecke $[S_3N]$ in das Schrägbild zru Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .