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Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas ABCDEFABCDEF, dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis [BC]\left[BC\right] ist. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Strecke [BC]\left[BC\right], der Punkt NN ist der Mittelpunkt der Strecke [EF]\left[EF\right].

Es gilt: AM=8 cm;BC=10 cm;AD=9 cm.\overline{AM}=8\ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\overline{AD}=9\ \text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF, wobei die Strecke [AM]\left[AM\right] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt MM liegen soll. Für die Zeichnung gilt:

    Berechnen Sie sodann das Maß φ\varphi des Winkels BACBAC.

  2. Zeichnen Sie die Strecke [MD][MD] in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MD][MD] sowie das Maß ϵ\epsilon des Winkels NMDNMD. [Ergebnisse: =12,04 cm; 41,63°][\text{Ergebnisse}:\ =12{,}04\ \text{cm};\ 41{,}63\degree]

  3. Punkte SnS_n liegen auf der Strecke [MD][MD] mit DSn\overline{DS_n} (x)(x) = xx  cm\ \text{cm}, xx R\in \mathbb{R} und xx \in ]0;12,04[]0;12{,}04[. Für die Strecken [SnHN][S_nH_N] mit Punkten HnH_n auf der Strecke [MN][MN] gilt: [SnHn][DN][S_nH_n] \vert \vert [DN]. Zeichnen Sie die Strecke [S1H1][S_1H_1] für x=4x=4 in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.

  4. Punkte Qn[BE]Q_n \in[BE] und Rn[CF]R_n \in \text{[CF]} bilden zusammen mit den Punkten MM und N Drachenvierecke MRnNQnMR_n NQ_nmit dem Diagonalenschnittpunkt HnH_n. Diese Drachenvierecke sind Grundflächen von Pyramiden MRnNQnSnMR_n NQ_n S_n mit der Spitze SnS_n. Zeichnen Sie die Pyramide MR1NQ1S1MR_1 NQ_1 S_1 in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen VV der Pyramiden MR1NQ1S1MR_1 NQ_1 S_1in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(1209,9x) cm3V(x)= (120-9{,}9x)\ \text{cm}^3.

  5. Das Volumen der Pyramide MR2NQ2S2MR _2 NQ_2 S_2 beträgt 25%25\% des Volumens des Prismas ABCDEF.ABCDEF. Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für xx.

  6. Der Winkel MS3NMS_3 N hat das Maß 110°110°. Zeichnen Sie die Strecke [S3N] [S_3N] in das Schrägbild zru Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für x x.