Die Aufgabenstellung findest Du hier als PDF.

Aufgaben
1.0 Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(610) und Q(45)P\left(−6\vert10\right)\ \text{und}\ Q\left(4|−5\right). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,25x2+bx +c mit G=R×Ry=0,25x^2+bx\ +c\ \text{mit}\ \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} und b,cb, c R\in \mathbb{R} . Die Gerade gg besitzt die Gleichung y=0,5x+1 mit G=R×R.\text{y}= −0,5x + 1 \ \text{mit}\ \mathbb{G} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}.
1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,25x2x5y=0,25x^2 − x − 5 besitzt. Zeichnen Sie sodann die Parabel pp und die Gerade gg für x [5;7]x\ \in \left[−5;7\right] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 5x7;7y7−5\leq x \leq 7 ; −7\leq y \leq 7.
1.2 Punkte An(x0,25x2 − x − 5)A_n(x|0,25x^2\ −\ x\ −\ 5) auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,5x+1C_n(x|-0{,}5x+1) auf der Geraden gg haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten BnB_n auf der Geraden gg und Punkten DnD_n für x ]4;6[\ x\in\ ]−4;6[ Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit der Geraden AnCnA_nC_n als Symmetrieachse. Der Abstand der Punkte BnB_n von der Geraden AnCnA_nC_n beträgt 22 LE. Zeichnen Sie die Drachenvierecke A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2x=−2 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=3x=3 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3 Geben Sie die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n an.
1.4 Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt AA der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n.
[Teilergebnis: AnCn(x)=(0,25x2 +0,5x +6) LE][\text{Teilergebnis:}\ \overline{A_nC_n}(x)=(−0,25x^2\ +0,5x\ +6)\ \text{LE}]
1.5 Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es das Drachenviereck A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0, das die größtmögliche Streckenlänge A0C0\overline{A_0C_0} besitzt. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke [A0C0][A_0C_0] sowie die Koordinaten des Punktes B0B_0.
1.6 Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Drachenvierecke A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4, für die gilt: AnCn=1,5BnDn\overline{A_nC_n}=1,5\cdot \overline {B_nD_n}. Berechnen Sie die xx-Koordinaten der Punkte A3A_3 und A4A_4.
1.7 Begründen Sie, dass das Maß der Winkel CnBnDnC_nB_nD_n für alle Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gleich ist.

Lösung 1.1

Für diese Aufgabe benötigst du das Grundwissen: Quadratische Funktion
Um die Werte für bb und cc zu bestimmen, solltest du die Punkte PP und QQ in die Parabelgleichung y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c einsetzen. Dann erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und kannst das Gleichungssystem lösen.

Erste Gleichung:
Setze P(xy)=P(610)P(x\vert y)=P(-6\vert 10) ein:
(I)10=0,25(6)2  6b + c10=9  6b + c\displaystyle \begin{array}{lrcl} \mathbf{(I)} & 10 &=& 0{,25}\cdot\left(-6\right)^2\ -\ 6b\ +\ c \\ & 10 &=& 9\ -\ 6b\ +\ c \end{array}
Zweite Gleichung:
Setze Q(xy)=Q(45)Q(x\vert y)=Q(4\vert -5) ein:
(II)5=0,2542 + 4b + c5=4 + 4b + c\displaystyle \begin{array}{lrcl} \mathbf{(II)} & -5 &=& 0{,25}\cdot4^2\ +\ 4b\ +\ c \\ & -5 &=& 4\ +\ 4b\ +\ c \end{array}
Jetzt kannst du zum Beispiel die erste Gleichung nach cc auflösen:
(I)10=9  6b + c 9;+6b1 + 6b=c\displaystyle \begin{array}{ccclr} \mathbf{(I)} & 10 &=& 9\ -\ 6b\ +\ c & \qquad \vert\ - 9; + 6b \\ & \color{ff6600}{1\ +\ 6b} &=& \color{ff6600}{c} \end{array}
Setze cc in die zweite Gleichung ein:
(II)5=4 + 4b + 1 + 6b5=5 + 10b510=10b ⁣:101=b\displaystyle \begin{array}{lrclll} \mathbf{(II)} & -5 &=& 4\ +\ 4b\ +\ \color{ff6600}{1\ +\ 6b} \\ & -5 &=& 5\ +\ 10b & \vert & -5 \\ & -10 &=& 10b & \vert & \colon10 \\ & -1 &=& b \end{array}
Jetzt kennst du schon den Wert von bb. Setze ihn nun wieder in die erste Gleichung ein und du kannst auch cc bestimmen:
(I)1 + 6b=c1  6=c5=c\displaystyle \begin{array}{crcl} \mathbf{(I)} & 1\ +\ 6b &=& c \\ & 1\ -\ 6 &=& c \\ & -5 &=& c \end{array}
Eingesetzt in die Parabelgleichung erhältst du das Ergebnis:
p:y = 0,25x2  x  5\displaystyle p:\quad y\ =\ 0{,}25x^2\ -\ x\ -\ 5
Als Letztes sollst du pp noch zusammen mit der Geraden gg in ein Koordinatensystem zeichnen, das könnte so aussehen:
Parabel mit Gerade

Lösung 1.2

Um das Drachenviereck A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 einzuzeichnen, gehst du auf der xx-Achse zur Stelle x=2x=-2. Dort gehst du dann senkrecht nach oben und zeichnest auf die Gerade gg den Punkt C1C_1.

Wenn du von x=2x=-2 senkrecht nach unten gehst kannst du auf der Parabel pp den Punkt A1A_1 einzeichnen.

Da der Punkt B1B_1 den Abstand 22 zu [A1C1][A_1C_1] hat, musst du für B1B_1 auf der xx-Achse 22 Schritte nach rechts, also zur Stelle x=0x=0, gehen und den Punkt B1B_1 dann dort auf der Gerade gg einzeichnen.

Da es sich um ein Drachenviereck handelt, hat auch der Punkt D1D_1 einen Abstand von 22 zu [A1C1][A_1C_1], liegt aber links davon, also an der Stelle x=4x=-4. Der yy-Wert von D1D_1 ist dann derselbe, den auch B1B_1 besitzt.

Zum Schluss musst du nur noch die Punkte miteinander verbinden.

Beim Drachenviereck A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 kannst du dann genauso vorgehen.

Insgesamt sieht die Zeichnung dann so aus:
Drachenvierecke zwischen Parabel und Gerade

Lösung 1.3

Die Strecke [AnCn][A_nC_n] halbiert die Strecke BnDnB_nD_n, wenn also BnB_n einen Abstand von 22 LE zu [AnCn][A_nC_n] hat, dann hat auch DnD_n einen Abstand von 22 LE zu [AnCn][A_nC_n]. Die xx-Koordinate von DnD_n erhältst du also, wenn du von der Abszisse von AnA_n um 22 Schritte in negative xx-Richtung gehst, sie ist also xDn=x2x_{D_n}=x-2.
Die yy-Koordinate von DnD_n entspricht der yy-Koordinate von BnB_n. Du weißt, dass der Punkt BnB_n die Abszisse xBn= x+2x_{B_n}=\ x+2 hat und auf der Geraden gg liegt, seine yy-Koordinate findest du also heraus, indem du x+2x+2 in die Geradengleichung einsetzt:
yDn=yBn=0,5(x+2)+1=0,5x1+1=0,5x\displaystyle \begin{array}{rclcl} y_{D_{n}} &=& y_{B_{n}} &=& -0{,}5\cdot\left(x+2\right) + 1 \\ & & &=& -0{,}5x - 1+ 1 \\ &&&=& -0{,}5x \end{array}
Damit hast du jetzt also die folgenden Koordinaten:
Dn(x2  0,5x)\displaystyle D_n\left(x-2\ \vert\ -0{,}5x \right)

Lösung 1.4

Für diese Aufgabe benötigst du das Grundwissen: Flächeninhalt eines Drachenvierecks
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu berechnen, benötigst du die Längen seiner Diagonalen. Das Drachenviereck AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n hat die Diagonalen [AnCn][A_nC_n] und [BnDn][B_nD_n], in diesem Fall ist der Flächeninhalt also:
AAnBnCnDn=12BnDnAnCn\displaystyle A_{A_nB_nC_nD_n} = \dfrac12\cdot\overline{B_nD_n}\cdot\overline{A_nC_n}
Die Länge der Strecke [BnDn][B_nD_n] kennst du schon, sie hat den Wert 44 LE.
Um die Länge der Strecke [AnCn][A_nC_n] zu berechnen, solltest du bedenken, dass die Punkte AnA_n und CnC_n dieselbe Abszisse xx haben. Der Abstand zwischen den beiden entspricht also dem Abstand der yy-Koordinaten der Punkte, dieser ist einfach die Differenz, also:
AnCn=yCnyAn=0,5x+1(0,25x2x5)=0,5x+10,25x2+x+5=0,25x2+0,5x+6LE\displaystyle \begin{array}{rclll}\overline{A_nC_n} &=& y_{C_n} - y_{A_n} &=& -0{,}5x + 1 - \left(0{,}25x^2-x-5\right) \\ &&&=& -0{,}5x + 1 - 0{,}25x^2+x+5 \\ &&&=& -0{,}25x^2 + 0{,}5x +6\quad \text{LE} \end{array}
Damit hast du jetzt auch die Länge der zweiten Diagonalen bestimmt. Nun kannst du den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen:
AAnBnCnDn=0,5BnDnAnCn=0,54 LE(0,25x2+0,5x+6)LE=0,5x2+x+12FE\displaystyle \begin{array}{ccl}A_{A_nB_nC_nD_n} &=& 0{,}5\cdot\overline{B_nD_n}\cdot\overline{A_nC_n} \\ &=& 0{,}5\cdot4\ \text{LE}\cdot \left(-0{,}25x^2 + 0{,}5x +6\right) \text{LE} \\ &=& -0{,}5x^2 + x + 12 \quad \text{FE}\end{array}

Lösung 1.5

Für diese Aufgabe benötigst du das Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
In dieser Aufgabe geht es darum die Länge der Strecke [AnCn][A_nC_n] zu maximieren, du musst also eine Extremwertaufgabe lösen.
In Teilaufgabe 1.4 hast du bereits eine Formel für die Länge dieser Strecke bestimmt:
AnCn(x)=0,25x2+0,5x+6\displaystyle \overline{A_nC_n}(x) = -0{,}25x^2 + 0{,}5x +6\quad
Dabei handelt es sich um eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum der Länge kannst du ablesen, wenn du den Scheitelpunkt der Funktion kennst. Diesen kannst du entweder mit der Formel oder mit quadratischer Ergänzung bestimmen.

Bestimmen des Scheitels mit der Formel

Die Formel für den Scheitelpunkt ist: S(b2a | cb24a)S \left(-\dfrac{b}{2\cdot a}\ \middle\vert\ c- \dfrac{b^2}{4\cdot a} \right), wenn du eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c gegeben hast. Das ist hier der Fall, du musst nur noch durch vergleichen die Werte von a,ba, b und cc bestimmen:
Hier gilt a=0,25a = -0{,}25, b=0,5b = 0{,}5 und c=6c= 6. Diese Werte musst du jetzt nur noch einsetzen und erhältst:
S(0,52(0,25) | 60,524(0,25))=S(1 | 6,25)\displaystyle S \left(-\dfrac{0{,}5}{2\cdot (-0{,}25)}\ \middle\vert\ 6- \dfrac{0{,}5^2}{4\cdot (-0{,}25)} \right) = S \left(1\ \middle\vert\ 6{,}25 \right)
Alternativ kannst du den Scheitelpunkt auch herausfinden, indem du die Funktion in Scheitelform bringst. Das ist etwas aufwendiger und du benötigst quadratische Ergänzung dafür.
AnCn(x) = 0,25x2 + 0,5x + 6 \displaystyle \overline{A_nC_n}(x)\ =\ -0{,}25x^2\ +\ 0{,}5x\ +\ 6\
Zuerst kannst du den Wert 0,25-0{,}25 ausklammern:
= 0,25(x22x)+6\displaystyle =\ -0{,}25\left(x^2 - 2x\right) + 6
Jetzt ergänzt du den Term in der Klammer. Dafür teilst du die Zahl, die vor dem xx steht durch 22, in diesem Fall 2 ⁣:2=12 \colon 2 = 1 und nimmst das Ergebnis im Quadrat, in diesem Fall 12=11^2 = 1. Diese Zahl addierst und subtrahierst du nun in der Klammer:
= 0,25(x22x+1=(x  1)21)+6\displaystyle =\ -0{,}25\left(\underbrace{x^2 - 2x + 1}_{= \left(x\ -\ 1 \right)^2} - 1\right) + 6
Du siehst jetzt, dass du innerhalb der Klammer die zweite binomische Formel anwenden kannst. Anschließend kannst du die Klammer ausmultiplizieren und alles zusammenfassen:
=0,25(x1)2+0,25+6=0,25(x  1)2+6,25\displaystyle \begin{array}{rcl}&=& -0{,}25\left(x-1\right)^2 +0{,}25 + 6 \\&=& -0{,}25\left(x\ {\color{#ff6600} -\ 1}\right)^2 +{\color{009999}6{,}25} \end{array}
Jetzt musst du den Scheitelpunkt nur noch aus dem Term ablesen und erhältst: S(16,25)S\left({\color{ff6600} 1}\vert {\color{009999}6{,}25}\right).
Die größtmögliche Streckenlänge A0C0\overline{A_0C_0} entspricht der y-Koordinate des Scheitelpunkts, also 6,25 LE6{,}25\ \mathrm{LE}.
Zusätzlich gibt dir der Scheitelpunkt auch die Abszisse x=1x = 1 der zugehörigen Punkte A0A_0 und C0C_0 an. Die Abszisse des Punkts B0B_0 ist dann xB0=1+2=3x_\mathrm{B_0} = 1+ 2 = 3. Da B0B_0 auf der Geraden gg liegt, kannst du diesen Wert einfach in die Geradengleichung einsetzen und erhältst auch die y-Koordinate von B0B_0:
y=0,5x+1=0,53+1=0,5\displaystyle \begin{array}{rcl}y &=& -0{,}5x + 1 \\ &=& -0{,}5\cdot 3 + 1 \\ &=& -0{,}5 \end{array}
Damit hast du nun beide Koordinaten von B0(30,5)B_0\left(3\vert -0{,}5\right) bestimmt.

Lösung 1.6

Die Punkte BnB_n haben immer einen Abstand von 2 LE2\ \mathrm{LE} zur Strecke AnCn\overline{A_nC_n}. Für die Punkte DnD_n gilt das gleiche, da sie einfach auf der anderen Seite der Strecke liegen. Die Strecke BnDn\overline{B_nD_n} ist also immer 4 LE4\ \mathrm{LE} lang.
Für die Drachenvierecke A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 muss also gelten:
AnCn=1,54 LE=6 LE\displaystyle \overline{A_nC_n} = 1{,}5\cdot 4\ \mathrm{LE} = 6\ \mathrm{LE}
Setze jetzt die Formel für die Länge der Strecke AnCn\overline{A_nC_n} ein und du erhältst eine Gleichung, die du nach xx auflösen kannst:
0,25x2+0,5x+6=660,25x2+0,5x=0\displaystyle \begin{array}{rclcll}-0{,}25x^2 + 0{,}5x +6 &=& 6 \qquad&\vert& -6 \\ -0{,}25x^2 + 0{,}5x &=& 0 && \end{array}
Klammere jetzt xx aus:
x(0,25x+0,5)=0\displaystyle x\left(-0{,}25x + 0{,}5\right) = 0
Auf der linken Seite der Gleichung stehen jetzt 22 Faktoren, damit am Ende 00 herauskommt, muss also einer der beiden Faktoren selbst 00 sein.
Die erste Lösung ist also x=0x = 0
Für die zweite Lösung schaust du dir den anderen Faktor an und setzt ihn gleich 00:
0,25x+0,5=0+0,250,5=0,25x ⁣:0,252=x\displaystyle \begin{array}{rclll}-0{,}25x + 0{,}5 &=& 0 &\vert& + 0{,}25 \\ 0{,}5 &=& 0{,}25x &\vert& \colon 0{,}25 \\ 2 &=& x && \end{array}
Damit ist die zweite mögliche Lösung x=2x = 2.

Lösung 1.7

Der Winkel CnBnDnC_nB_nD_n wird am Punkt BnB_n von den Strecken [BnCn][B_nC_n] und [BnDn][B_nD_n] aufgespannt. Die Strecke [BnCn][B_nC_n] liegt dabei auf der Geraden gg, während die Strecke [BnDn][B_nD_n] parallel zur x-Achse verläuft.
Das Maß des Winkels entspricht also dem Maß des Winkels zwischen gg und der x-Achse. Dieser Winkel hat aber immer das selbe Maß und deshalb ist auch das Maß von CnBnDn\angle C_nB_nD_n für alle Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gleich.
Im folgenden Applet kannst du dir das nochmal veranschaulichen, in dem du das Drachenviereck mithilfe des Schiebereglers veränderst.
GeoGebra
2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas ABCDEFABCDEF,dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis [BC]\left[BC\right] ist. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Strecke [BC]\left[BC\right], der Punkt NN ist der Mittelpunkt der Strecke [EF]\left[EF\right].
Es gilt: AM=8 cm;BC=10 cm;AD=9 cm.\overline{AM}=8\ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\overline{AD}=9\ \text{cm}.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF, wobei die Strecke [AM]\left[AM\right] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt MM liegen soll. Für die Zeichnung gilt:
q=12;w=45°\displaystyle q=\frac{1}{2};w=45\degree
Berechnen Sie sodann das Maß φ\varphi des Winkels BACBAC.
2.2 Zeichnen Sie die Strecke [MD][MD] in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MD][MD] sowie das Maß ϵ\epsilon des Winkels NMDNMD. [Ergebnisse: =12,04 cm; 41,63°][\text{Ergebnisse}:\ =12,04\ \text{cm};\ 41,63\degree]
2.3 Punkte SnS_n liegen auf der Strecke [MD][MD] mit DSn\overline{DS_n} (x)(x) = xx  cm\ \text{cm}, xx R\in \mathbb{R} und xx \in ]0;12,04[]0;12,04[. Für die Strecken [SnHN][S_nH_N] mit Punkten HnH_n auf der Strecke [MN][MN] gilt: [SnHn][DN][S_nH_n] \vert \vert [DN]. Zeichnen Sie die Strecke [S1H1][S_1H_1] für x=4x=4 in das Schrägbild zu B 2.1 ein und berechnen Sie deren Länge.
2.4 Punkte Qn[BE]Q_n \in[BE] und Rn[CF]R_n \in \text{[CF]} bilden zusammen mit den Punkten MM und N Drachenvierecke MRnNQnMR_n NQ_nmit dem Diagonalenschnittpunkt HnH_n. Diese Drachenvierecke sind Grundflächen von Pyramiden MRnNQnSnMR_n NQ_n S_n mit der Spitze SnS_n. Zeichnen Sie die Pyramide MR1NQ1S1MR_1 NQ_1 S_1 in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen VV der Pyramiden MR1NQ1S1MR_1 NQ_1 S_1in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(1209,9x) cm3V(x)= (120-9,9x)\ \text{cm}^3.
2.5 Das Volumen der Pyramide MR2NQ2S2MR _2 NQ_2 S_2 beträgt 25%25\% des Volumens des Prismas ABCDEF.ABCDEF. Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für xx.
2.6 Der Winkel MS3NMS_3 N hat das Maß 110°110°. Zeichnen Sie die Strecke [S3N] [S_3N] in das Schrägbildzu B 2.1 ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für x x.

Lösung 2.1

Wie du das Schrägbild des Prismas zeichnest, kannst du dir in diesem Applet ansehen:
GeoGebra
Jetzt geht es noch darum das Maß des Winkels BAC\angle BAC zu berechnen. Dazu kannst du das rechtwinklige Dreieck BMABMA ansehen, denn in diesem liegt der Winkel BAM\angle BAM, der genau halb so groß ist wie BAC\angle BAC.
Rechtwinkliges Dreieck mit Beschriftung
Um das Maß des Winkels BAM\angle BAM zu bestimmen kannst du den Tangens verwenden. In dem Dreieck ist [BM][BM] nämlich die Gegenkathete zu BAM\angle BAM und [AM][AM] die Ankathete. Die Länge AM=8 cm\overline{AM} = 8\ \text{cm} kennst du aus der Angabe und die Länge von BM=0,510 cm=5 cm\overline{BM} = 0{,}5 \cdot 10\ \text{cm} = 5\ \text{cm} entspricht der Hälfte der Länge von BC\overline{BC}.
Eingesetzt in die Gleichung des Tangens erhältst du dann:
tan(BAM)=GegenkatheteAnkathete=58\displaystyle \tan\left(\angle BAM \right) = \dfrac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}} = \dfrac58
Mit der Umkehrfunktion des Tangens erhältst du : BAM = tan1(58)32°\angle BAM\ =\ \tan^{-1}\left(\dfrac{5}{8}\right) \approx 32° 
Das Maß des Winkels BAC\angle BAC entspricht nun genau dem doppelten der 32°32°, also:
BAC = 232° = 64°\displaystyle \angle BAC\ =\ 2\cdot 32°\ =\ 64°

Lösung 2.2

Die Strecke in das Schrägbild einzuzeichnen ist ganz einfach:
Um die Länge der Strecke [MD][MD] und das Maß des Winkels ϵ\epsilon zu berechnen ist es hilfreich sich das Dreieck MNDMND anzusehen:
Rechtwinkliges Dreieck
Wie du siehst ist das Dreieck MNDMND rechtwinklig. Die Strecke [MD][MD] ist darin die Hypotenuse. Da du die Längen der Katheten, ND=8 cm\overline {ND} = 8\ \text{cm} und MN=9 cm\overline{MN} = 9\ \text{cm}, kennst du bereits aus der Angabe, du kannst also den Satz des Pythagoras verwenden und erhältst:
MD2=(8 cm)2+(9 cm)2MD2=64 cm2+81 cm2MD2=145 cm2MD=12,04 cm\displaystyle \begin{array}{lcrllll} \overline{MD}^2 &=& (8\ \text{cm})^2 &+& (9\ \text{cm})^2 &&\\ \overline{MD}^2&=& 64\ \text{cm}^2 &+& 81\ \text{cm}^2 &&\\ \overline{MD}^2&=& 145\ \text{cm}^2 && \qquad&\vert& \sqrt{} \\ \overline{MD} &=& 12{,}04\ \text{cm}\end{array}
Die Strecke [MD][MD] ist also 12,04 cm12{,}04\ \text{cm} lang.
Jetzt musst du noch das Maß von ϵ\epsilon berechnen. Da du jetzt die Längen aller Strecken in dem Dreieck kennst, kannst du dafür den Sinus, Cosinus oder Tangens verwenden. Hier wird jetzt der Tangens verwendet, für Sinus und Cosinus erhältst du das selbe Ergebnis:
tan(ϵ)=GegenkatheteAnkathete=89\displaystyle \tan\left(\epsilon\right) = \dfrac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}} = \dfrac89
Verwende wieder die Umkehrfunktion des Tangens und du bekommst das Ergebnis:
ϵ=tan1(89)41,63°\displaystyle \epsilon = \tan^{-1}\left(\dfrac89\right) \approx 41{,}63°

Lösung 2.3

Um die Länge der Strecke [S1H1][S_1H_1] zu berechnen kannst du den Sinus verwenden. Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck MH1S1MH_1S_1. Darin ist [S1H1][S_1H_1] die Gegenkathete des Winkels ϵ\epsilon und [MS1][MS_1] die Hypotenuse. Mit dem Sinus gilt also:
sin(ϵ)=GegenkatheteHypotenuse=S1H1MS1\displaystyle \sin(\epsilon) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{{\text{Hypotenuse}}} = \dfrac{\overline{S_1H_1}}{\overline{MS_1}}
Das Maß des Winkels ϵ=41,63°\epsilon = 41{,}63° kennst du bereits, die Länge der Strecke [MS1][MS_1] kannst du kurz berechnen: MS1=MDDS1=12,04 cm4 cm=8,04 cm\overline{MS_1} = \overline{MD} - \overline{DS_1} = 12{,}04\ \text{cm} - 4\ \text{cm} = 8{,}04\ \text{cm}. Das kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und sie nach S1H1\overline{S_1H_1} auflösen:
sin(41,63°)=S1H18,04 cm8,04 cm8,04 cmsin(41,63°)=S1H15,34 cm=S1H1\displaystyle \begin{array}{ccc} \sin(41{,}63°) &=& \dfrac{\overline{S_1H_1}}{8{,}04\ \text{cm}} &\vert& \cdot 8{,}04\ \text{cm} \\ \\ 8{,}04\ \text{cm} \cdot \sin(41{,}63°) &=& \overline{S_1H_1} \\ \\ 5{,}34\ \text{cm} &=& \overline{S_1H_1} \end{array}
Um die Länge der Strecke [S1H1]\left[S_{1_{ }}H_1\right] zu berechnen, kannst du auch den Strahlensatz verwenden. Betrachte dazu das Dreieck [MND]\left[MND\right] und verwende den 2. Strahlensatz für die V-Figur, dann erhältst du:
MDMS1=DNS1H1\displaystyle \dfrac{\overline{MD}}{\overline{MS_1}} = \dfrac{\overline{DN}}{\overline{S_1H_1}}
Die Längen MD=12,04 cm\overline{MD} = 12{,}04\ \text{cm} und DN=8 cm\overline{DN} = 8\ \text{cm} kennst du bereits, die Länge der Strecke [MS1][MS_1] kannst du kurz berechnen: MS1=MDDS1=12,04 cm4 cm=8,04 cm\overline{MS_1} = \overline{MD} - \overline{DS_1} = 12{,}04\ \text{cm} - 4\ \text{cm} = 8{,}04\ \text{cm}. Diese Werte kannst du nun in die Gleichung einsetzen und sie nach S1H1\overline{S_1H_1} auflösen:
12,048,04=8 cmS1H1S1H112,048,04S1H1=8 cm ⁣:12,048,04S1H15,34 cm\displaystyle \begin{array}{rclcl}\dfrac{12{,}04}{8{,}04} &=& \dfrac{8\ \text{cm}}{\overline{S_1H_1}} &\vert& \cdot\overline{S_1H_1} \\ \\ \dfrac{12{,}04}{8{,}04}\cdot\overline{S_1H_1}&=&8\ \text{cm} &\vert& \colon \dfrac{12{,}04}{8{,}04} \\ \\ \overline{S_1H_1} &\approx& 5{,}34\ \text{cm} \end{array}

Lösung 2.4 (noch in Arbeit)

Prisma mit Pyramide
Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, musst du ihre Grundfläche und ihre Höhe kennen. Die Höhe der Pyramide MRnNQnSnMR_nNQ_nS_n entspricht der Länge SnHn\overline{S_nH_n} und ihre Grundfläche ist die Fläche des Drachenvierecks MRnNQnMR_nNQ_n.

Berechnung der Höhe SnHn\overline{S_nH_n}



Berechnung der Fläche des Drachenvierecks MRnNQnMR_nNQ_n

Die Diagonalen im Drachenviereck MRnNQnMR_nNQ_n sind QnRn=BC=10 cm\overline{Q_nR_n} = \overline{BC} = 10\ \text{cm} und NM=AD=9 cm\overline{NM} = \overline{AD} = 9\ \text{cm}. Mit der Formel für den Flächeninhalt gilt also:
ADrachenviereck=12QnRnNM=1210 cm9 cm=45 cm2\displaystyle A_{\text{Drachenviereck}} = \dfrac12 \cdot \overline{Q_nR_n} \cdot \overline{NM} = \dfrac12 \cdot 10\ \text{cm} \cdot 9\ \text{cm} = 45\ \text{cm}^2
Kommentieren Kommentare