Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung

geg.: $|\overline {AC}|=14\: cm;\quad |\overline {CM}|=5\: cm; \quad |\overline {BD}|=12\: cm; \quad |\overline {MS}|=10\: cm; \quad q=0{,}5 \:$und $\: ω=45°$

ges.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit $AC$ auf Schrägbildachse

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $ABCDS$ mit Schrägbildachse $\overline {AC}$;

$A$ liegt links von $C$, $\:q=\frac {1}{2}$ und $\:\omega=45°$

$\Rightarrow |\overline {BD}|_{\text{in Zeichung}}=q\cdot12\:cm=\frac{1}{2}\cdot 12\:cm=6 \:cm$

2. Berechnung der Länge der Strecke $|\overline {CS}|$ mit Pythagoras:

$|\overline {CM}|^2+|\overline {MS}|^2=|\overline {CS}|^2$

$\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt {|\overline {CM}|^2+|\overline {MS}|^2}$

$\Rightarrow \bold {|\overline {CS}|}=\sqrt {5^2+10^2}=\sqrt {25+100}=\sqrt {125}=11{,}18$

Die Länge der Strecke $\overline{CS}$ beträgt $\bold {11{,}18\:cm}$.

3. Berechnung $∡SCA$ mithilfe Tangens:

$\displaystyle\tan\sphericalangle SCA=\frac{GK}{AK}=\frac{MS}{CM}=\frac{10\:cm}{5 \:cm}=2$

$\bold {\sphericalangle SCA=\tan^{-1}(2)=63{,}43^\circ}$

geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:

$\blue {|\overline {AC}|=14\: cm;\quad |\overline {CM}|=5\: cm; \quad |\overline {BD}|=12\: cm; \quad |\overline {MS}|=10\: cm;\\ q=0{,}5; \: ω=45°; \:∡SCA=63{,}43°; \:|\overline {CS}|=11{,}18\:cm}$

zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:

Punkte $P_n \in \overline {CS};\: T_n \in \overline {AM};$ weiter gilt $|\overline {SP_n}|(x)=0{,}5\cdot x\:cm; |\overline {MT_n}(x)=x\: cm$

mit $x \in R$ und $0<x\leq9$; $P_n$ sind Spitzen der Pyramide $T_nBCDP_n$ mit den Grundflächen $T_nBCD$ und den Höhen $\overline {F_n P_n}$

ges.: Schrägbild der Pyramide $T_1BCDP_1$ mit $AC$ auf Schrägbildachse und

$h=\overline {F_1 P_1}$ für $x=7$; Länge der Strecke $\overline {P_1T_1}$

Ansatz und Rechnung:

1. Einzeichnen der Pyramide $T_1BCDP_1$ und der Höhe $\overline {F_1 P_1}$ für $x=7$:

• Berechnung $|\overline {SP_1}|(x=7)=0{,}5\cdot 7\:cm=3{,}5\: cm$; $\quad P_1$ einzeichnen

• Berechnung $|\overline {MT_1}|(x=7)=7\:cm$; $\quad T_1$ einzeichnen

• Eckpunkte der Pyramide $T_1BCDP_1$ verbinden

2. Berechnung der Länge der Strecke $\overline {P_1T_1}$ mithilfe des Kosinussatzes:

Kosinussatz: $\blue {\bold {a^2=b^2+c^2-2 \cdot b\cdot c \cdot cosα}}$

mit $a= |\overline {P_1T_1}|; \quad b=|\overline {CP_1}|; \quad c=|\overline {CT_1}|; \quad \alpha=63{,}43°$

$\Rightarrow \bold {|\overline {P_1T_1}|^2=|\overline {CP_1}|^2 + |\overline {CT_1}|^2-2\cdot |\overline {CP_1}\cdot|\overline {CT_1}| \cdot cos \sphericalangle SCA}$

Werte von⋅$|\overline {CP_1}|$ und $|\overline {CT_1}|$ berechnen:

• $|\overline {CP_1}|=|\overline {CS}|-|\overline {SP_1}|=11{,}18\: cm-3{,}5\: cm=7{,}68\: cm$

• $|\overline {CT_1}|=|\overline {CM}|+|\overline {MT_1}|=5\: cm+7\: cm=12\: cm$

Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:

$\Rightarrow {|\overline {P_1T_1}|^2}=7{,}68^2 + 12^2-2\cdot 7{,}68\cdot12 \cdot cos (63{,}43°)$

$\qquad\qquad\quad =58.98 + 144-184{,}32 \cdot 0{,}4473$

$\qquad\qquad\quad=202{,}98-82{,}45$

$\qquad\qquad\quad=120{,}53$

$\Rightarrow \bold {{|\overline {P_1T_1}|}}=\sqrt {120{,}53}=10{,}9786$

Die Länge von $\bold {\overline{P_1T_1}}$ beträgt $\bold {10{,}98\:cm}$

geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b

ges.: %-Anteil des Volumens von $T_1BCDP_1$ an $ABCDS$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung des Volumens der Pyramide $ABCDS$ mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:

Das Volumen einer Pyramide ist $\bold {V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$

Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt $\bold { {G_{ABCD}=\frac {1}{2}\cdot e\cdot f}}$

hierbei sind $e≙ |\overline {AC}|= 14\:cm;\quad f≙ |\overline {BD}|= 12\:cm;\quad h≙ |\overline {MS}|= 10\:cm;$

$\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h}$

$\qquad \qquad \quad ={\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12\cdot 10\:cm^3}$

$\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}}=\bold {280\: cm^3}$

2. Berechnung des Volumens der Pyramide $T_1BCDP_1$:

$\Rightarrow \bold {V_{T_1BCDP_1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h}$

hierbei sind $e≙ |\overline {CT_1}|= 12\:cm;\quad f≙ |\overline {BD}|= 12\:cm;$

$h=|\overline{F_1P_1}|$ errechnet man aus $|\overline{CP_1}|=7{,}68\:cm$ und dem Sinus aus $∡SCA=63{,}43°$

$\displaystyle\sin∡SCA=\frac {|\overline{F_1P_1}|}{|\overline{CP_1}|}$; nach Umformung $\Rightarrow |\overline{F_1P_1}|=sin∡SCA\cdot{|\overline{CP_1}|}$

$\Rightarrow |\overline{F_1P_1}|=\sin(63{,}43°)\cdot7{,}86=0{,}8943\cdot7{,}68=6{,}8689\:\approx {6{,}87\:cm}$

$\Rightarrow \bold {V_{T_1BCDP_1}=\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot 6{,}78=164{,}88\:cm^3}$

3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von $T_1BCDP_1$ an $ABCDS$:

$\displaystyle {\frac {V_{ABCDS}}{V_{ABCDS}}}-{\frac {V_{T_1BCDP_1}}{V_{ABCDS}}}=\frac {280}{280}-\frac {164{,}88}{280}=1-0{,}5888\:=\bold {\:41{,}11\:\%}$

geg.: Für die Pyramide $T_2BCDP_2$ gilt $|\overline {CP_2}|=|\overline {CT_2}|$

ges.: zugehöriger $x-$Wert für $|\overline {CP_2}|$ und $|\overline {CT_2}|$

Ansatz und Rechnung:

1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken $|\overline {CP_2}|$ und $|\overline {CT_2}|$:

Analog zu $|\overline {SP_n}|(x)=0{,}5\cdot x \: cm$ und $|\overline {MT_n}|(x)= x \: cm$ gilt dann

$|\overline {SP_2}|(x)= 0{,}5\cdot x \: cm$ und $|\overline {MT_2}|(x)= x \: cm$

$\Rightarrow |\overline {CP_2}|= |\overline {CS}|-|\overline {SP_2}|=11{,}18\:cm -0{,}5\cdot x$

$\Rightarrow |\overline {CT_2}|= |\overline {CM}|+|\overline {MT_2}|(x)=5\:cm + x$

2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten $x$:

$11{,}18\:cm-0{,}5\cdot x=5\:cm+x\qquad mit x\in R;\quad 0<x\leq 9$

Umformen und nach x auflösen:

$\Rightarrow 11{,}18 \: cm -5\:cm=0{,}5\cdot x+x$

$\Rightarrow 6{,}18 \: cm =1{,}5\cdot x$

$\Rightarrow x=\frac{6{,}18\:cm}{1{,}5}=4{,}12\:cm$

Der zugehörige $\bold x-$Wert ist $\bold {4{,}12\: cm}$

geg.: In der Pyramide $T_3BCDP_3$ gilt $∡BT_3 D=90°$

ges.: zugehöriger $x-$Wert für $|\overline {MT_3}|$

Ansatz und Rechnung:

Alle Dreiecke $BT_3D$ werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: $\Rightarrow$ Der Punkt $T_3$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline {BD}$.

Daher gilt:

$|\overline {MT_3}|=|\overline {BM}|=|\overline {DM}|=r_{\text{Thaleskreis}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline {BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12\:cm=6\:cm$

$\Rightarrow$ Der x-Wert ist also 6