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Aufgabe B4

Pyramide

Das Drachenviereck ABCDABCD mit der Symmetrieachse ACAC und dem Diagonalenschnittpunkt MM ist die

Grundfläche der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe MS\overline{MS}.

Es gilt: AC=14  cm\vert\overline{AC}\vert=14\;\text{cm}; CM=5  cm\vert\overline{CM}\vert=5\;\text{cm};

BD=12  cm\vert\overline{BD}\vert=12\;\text{cm}; MS=10  cm\vert\overline{MS}\vert=10\;\text{cm}.

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei AC\overline{AC} auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2}; ω=45.\omega=45^\circ.

    Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke CS\overline{CS} und das Maß des Winkels SCASCA. (4 P)

    [[Teilergebnisse: CS=11,18  cm;SCA=63,43]\vert\overline{CS}\vert=11{,}18\;\text{cm}; \sphericalangle SCA=63{,}43^\circ]

  2. Für Punkte PnCSP_n\in\overline{CS} und TnAMT_n\in\overline{AM} gilt: SPn(x)=0,5x  cm\vert\overline{SP_n}\vert(x)=0{,}5\cdot x\;\text{cm} und MTn(x)=x  cm\vert\overline{MT_n}\vert(x)= x\;\text{cm} mit xRx\in \mathbb{R} und 0<x90< x \leq9. Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden TnBCDPnT_nBCDP_n mit den Grundflächen TnBCDT_nBCD und den Höhen FnPn\overline{F_nP_n}.

    Zeichnen Sie die Pyramide T1BCDP1T_1BCDP_1 und die Höhe F1P1\overline{F_1P_1} für x=7x=7 in das Schrägbild zu a) ein.

    Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke P1T1\overline{P_1T_1}. (4 P)

  3. Bestimmen Sie durch Rechnung, um wie viel Prozent das Volumen der

    Pyramide T1BCDP1T_1BCDP_1 kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCDSABCDS. (4 P)

    [[Zwischenergebnis: F1P1=6,87  cm]\vert\overline{F_1P_1}\vert=6{,}87\;\text{cm}]

  4. Für die Pyramide T2BCDP2T_2BCDP_2 gilt: CP2=CT2\vert\overline{CP_2}\vert=\vert\overline{CT_2}\vert.

    Berechnen Sie den zugehörigen Wert für xx. (2 P)

  5. In der Pyramide T3BCDP3T_3BCDP_3 hat der Winkel BT3DBT_3D das Maß 9090^\circ.

    Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für xx. (2 P)