Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0, 25 x + 6$ und $h$ mit der Gleichung $y = x - 1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Punkte $D_n(x\vert x-1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf der Geraden $h$ . Punkte $A_{n}$ auf der Geraden $g$ haben eine um $2$ kleinere Abszisse als die Punkte $D_{n}$ .

Die Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ bilden zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ .

Es gilt: $\sphericalangle B_nA_nD_n=90^\circ;\;\overline{A_nC_n}=1{,}5\cdot\overline{B_nD_n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $-6\leq x\leq8;\;\;-5\leq y\leq8$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Zeichne zunächst ein Koordinatensystem mit $-6\leq x\leq8$ und $-5\leq x\leq8$ .
Bestimme für die beiden Geraden $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte, die auf diesen Geraden liegen, z.B. $P_{1} (0 ∣ 6)$ und $P_2(1|6{,}25)$ für die Gerade $g$ , sowie $Q_{1} (0 ∣ - 1)$ und $Q_{2} (1 ∣ 0)$ für die Gerade $h$ .
Die Gerade $g$ erhältst Du, indem Du eine Gerade durch die beiden Punkte $P_{1} (0 ∣ 6)$ und $P_2(1|6{,}25)$ zeichnest.
Die Gerade $h$ erhältst Du, indem Du eine Gerade durch die beiden Punkte
$Q_{1} (0 ∣ - 1)$ und $Q_{2} (1 ∣ 0)$ zeichnest.
Berechne nun die Koordinaten der Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ .
Für $x=2 \Rightarrow D_1(2|1)$ . $A_{1}$ liegt auf $g$ und hat eine um $2$ kleinere Abszisse wie $D_{1}$ $\Rightarrow A_1(0|6).$
Verbinde $A_{1}$ und $D_{1}$ und trage in $A_{1}$ einen $90 °$ Winkel an. Du erhältst den Punkt $B_{1}$ indem Du auf dem freien Schenkel des Winkels die Länge $\overline{A_1D_1}$ anträgst.
Verbinde nun $A_{1}$ mit dem Mittelpunkt der Strecke $\overline{B_1D_1}$ durch eine Gerade. Markiere auf dieser Geraden den Punkt, der von $A_{1}$ den Abstand $1{,}5 \cdot\overline{B_1D_1}$ hat. Dieser Punkt ist der gesuchte Punkt $C_{1}$ .
Verbinde die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ zu dem 1. Drachenviereck. Ermittle die Punkte $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ für das 2. Drachenviereck analog.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $D_{n}$ .
[Ergebnisse: $A_{n}$ $(x - 2 ∣ 0, 25 x + 5, 5)$ ; $B_{n}$ $(1, 75 x - 8, 5 ∣ 0, 25 x + 3, 5)$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Die $x$ -Koordinate der Punkte $A_{n}$ ergibt sich, indem Du $x$ durch $(x - 2)$ ersetzt. Die zugehörige $y$ -Koordinate ermittelst Du, indem Du $(x - 2)$ an Stelle von $x$ in die Gleichung für $g$ einsetzt.
$A_n(x-2|0{,}25(x-2)+6)$ $=A_n(x-2|0{,}25x+5{,}5)$
Den Punkt $B_{n}$ erhältst Du, indem Du an den Punkt $A_{n}$ den Vektor $\overrightarrow{A_nB_n}$ anlegst.
$\overrightarrow{OB_n}=\overrightarrow{OA_n}+\overrightarrow{A_nB_n}$
$\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} x-(x-2) \\ x-1-(0{,}25x+5{,}5)& \end{pmatrix}$ $x\in\mathbb{R}$
$\overrightarrow{A_nD_n}(x)=$ $\begin{pmatrix} 2 & \\ 0{,}75x-6{,}5 & \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{A_nD_n}$ $\rightarrow \overrightarrow{A_nB_n}$ $(O;\varphi=90°)$
$\overrightarrow{A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} 0{,}75x-6{,}5 & \\ -2& \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-2 \\ 0{,}25x+5{,}5 & \end{pmatrix}$ $+$ $\begin{pmatrix} 0{,}75x-6{,}5 & \\ -2 & \end{pmatrix}$ $x\in \mathbb{R}$
$\overrightarrow{OB_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}75x-8{,}5 \\ 0{,}25x+3{,}5 & \end{pmatrix}$
$B_n(1{,}75x-8{,}5|0{,}25x+3{,}5)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Diagonale [ $B_{3} D_{3}$ ] des Drachenvierecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt parallel zur Geraden $g$ . Berechnen Sie die Abszisse $x$ des Punktes $D_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
$\overrightarrow{B_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} x-(1{,}75x-8{,}5)) & \\ x-1-(0{,}25x+3{,}5))&\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -0{,}75x+8{,}5 & \\ 0{,}75x-4{,}5& \end{pmatrix}$
Da die Diagonale des Drachenvierecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ parallel zur Geraden $g$ ist,
haben die Diagonale und die Gerade $g$ dieselbe Steigung.
$m_{B_3D_3} = m_g$

$\dfrac{0{,}75x-4{,}5}{-0{,}75x+8{,}5}=0{,}25$
$0{,}75x-4{,}5=0{,}25 \dot(-0{,}75x+8{,}5)$
$3 x - 18 = - 0, 75 x + 8, 5$
$3, 75 x = 26, 5$
$x = 7, 07$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
$A (x) =$ $(0{,}84x^2-14{,}63x+69{,}38)\;\text{FE}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Für diese Teilaufgabe benötigst Du die Formel, wie man den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet.
$A_{A_nB_nC_nD_n}=0{,}5 \cdot \overline{A_nC_n} \cdot \overline{B_nD_n}$
Laut Angabe gilt: $\overline{A_nC_n}=1{,}5 \cdot \overline{B_nD_n}$
$\Rightarrow\; A_{A_nB_nC_nD_n}=0{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot (\overline{B_nD_n})²$
Für die Berechnung von $\overline{B_nD_n}(x)$ benutze den Satz des Pythagoras.
$\overline{B_nD_n}(x)=\sqrt{(-0{,}75x+8{,}5)²+(0{,}75x-4{,}5)²}\;\text{LE}$
$A_{A_nB_nC_nD_n}(x)=0{,}5 \cdot 1{,}5 (\sqrt{(-0{,}75x+8{,}5)²+(0{,}75x-4{,}5)²})²\;\text{FE}$
$A_{A_nB_nC_nD_n}(x)=0{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot [(-0{,}75x+8{,}5)²+(0{,}75x-4{,}5)²]\;\text{FE}$
$A_{A_nB_nC_nD_n}(x)=0{,}75 \cdot [(0{,}5625x²-12{,}75x+72{,}25)+(0{,}5625x^2-6{,}75x+20{,}25)]\;\text{FE}$
$A_{A_nB_nC_nD_n}(x)=0{,}75 \cdot (1{,}125x²-19{,}5x+92{,}5)\;\text{FE}$
$A_{A_nB_nC_nD_n}(x)=(0{,}84x²-14{,}63x+69{,}38)\;\text{FE}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Im Drachenviereck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ haben die Punkte $A_{4}$ und $C_{4}$ dieselbe Abszisse. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Im Drachenviereck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ gilt: $y_{B_4}=y_{D_4}$ .
$0, 25 x + 3, 5 = x - 1$
$4, 5 = 0, 75 x$
$x = 6$
$A_{A_4B_4C_4D_4 }(6)=0{,}84 \cdot (6)²-14{,}63 \cdot 6 +69{,}38$
$A_{A_4B_4C_4D_4} =30{,}24-87{,}78+69{,}38=11{,}84\;\text{FE}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?