Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,25 x + 6$ und $h$ mit der Gleichung $y = x - 1$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Punkte $D_{n} (x | x - 1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf der Geraden $h$ . Punkte $A_{n}$ auf der Geraden $g$ haben eine um $2$ kleinere Abszisse als die Punkte $D_{n}$ .
Die Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ bilden zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ .
Es gilt: $∢ B_{n} A_{n} D_{n} = 90^{\circ}; A_{n} C_{n} = 1,5 \cdot B_{n} D_{n}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $- 6 \leq x \leq 8; - 5 \leq y \leq 8$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Zeichne zunächst ein Koordinatensystem mit $- 6 \leq x \leq 8$ und $- 5 \leq x \leq 8$ .
  Bestimme für die beiden Geraden $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte, die auf diesen Geraden liegen, z.B. $P_{1} (0 | 6)$ und $P_{2} (1 | 6,25)$ für die Gerade $g$ , sowie $Q_{1} (0 | - 1)$ und $Q_{2} (1 | 0)$ für die Gerade $h$ .
  Die Gerade $g$ erhältst Du, indem Du eine Gerade durch die beiden Punkte $P_{1} (0 | 6)$ und $P_{2} (1 | 6,25)$ zeichnest.
  Die Gerade $h$ erhältst Du, indem Du eine Gerade durch die beiden Punkte
  $Q_{1} (0 | - 1)$ und $Q_{2} (1 | 0)$ zeichnest.
  Berechne nun die Koordinaten der Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ .
  Für $x = 2 \Rightarrow D_{1} (2 | 1)$ . $A_{1}$ liegt auf $g$ und hat eine um $2$ kleinere Abszisse wie $D_{1}$ $\Rightarrow A_{1} (0 | 6) .$
  Verbinde $A_{1}$ und $D_{1}$ und trage in $A_{1}$ einen $90 °$ Winkel an. Du erhältst den Punkt $B_{1}$ indem Du auf dem freien Schenkel des Winkels die Länge $A_{1} D_{1}$ anträgst.
  Verbinde nun $A_{1}$ mit dem Mittelpunkt der Strecke $B_{1} D_{1}$ durch eine Gerade. Markiere auf dieser Geraden den Punkt, der von $A_{1}$ den Abstand $1,5 \cdot B_{1} D_{1}$ hat. Dieser Punkt ist der gesuchte Punkt $C_{1}$ .
  Verbinde die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ zu dem 1. Drachenviereck. Ermittle die Punkte $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ für das 2. Drachenviereck analog.
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2. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $D_{n}$ .
  [Ergebnisse: $A_{n}$ $(x - 2 | 0,25 x + 5,5)$ ; $B_{n}$ $(1,75 x - 8,5 | 0,25 x + 3,5)$ ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Die $x$ -Koordinate der Punkte $A_{n}$ ergibt sich, indem Du $x$ durch $(x - 2)$ ersetzt. Die zugehörige $y$ -Koordinate ermittelst Du, indem Du $(x - 2)$ an Stelle von $x$ in die Gleichung für $g$ einsetzt.
  $A_{n} (x - 2 | 0,25 (x - 2) + 6)$ $= A_{n} (x - 2 | 0,25 x + 5,5)$
  Den Punkt $B_{n}$ erhältst Du, indem Du an den Punkt $A_{n}$ den Vektor $\vec{A_{n} B_{n}}$ anlegst.
  $\vec{O B_{n}} = \vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}}$
  $\vec{A_{n} D_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x - (x - 2) \\ x - 1 - (0,25 x + 5,5) \end{array})$ $x \in ℝ$
  $\vec{A_{n} D_{n}} (x) =$ $(\begin{array}{cc} 2 \\ 0,75 x - 6,5 \end{array})$
  $\vec{A_{n} D_{n}}$ $\to \vec{A_{n} B_{n}}$ $(O; φ = 90 °)$
  $\vec{A_{n} B_{n}} (x) = (\begin{array}{cc} 0,75 x - 6,5 \\ - 2 \end{array})$
  $\vec{O B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x - 2 \\ 0,25 x + 5,5 \end{array})$ $+$ $(\begin{array}{cc} 0,75 x - 6,5 \\ - 2 \end{array})$ $x \in ℝ$
  $\vec{O B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 1,75 x - 8,5 \\ 0,25 x + 3,5 \end{array})$
  $B_{n} (1,75 x - 8,5 | 0,25 x + 3,5)$
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3. Die Diagonale [ $B_{3} D_{3}$ ] des Drachenvierecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt parallel zur Geraden $g$ . Berechnen Sie die Abszisse $x$ des Punktes $D_{3}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  $\vec{B_{n} D_{n}} (x) = (\begin{array}{cc} x - (1,75 x - 8,5)) \\ x - 1 - (0,25 x + 3,5)) \end{array})$ $= (\begin{array}{cc} - 0,75 x + 8,5 \\ 0,75 x - 4,5 \end{array})$
  Da die Diagonale des Drachenvierecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ parallel zur Geraden $g$ ist,
  haben die Diagonale und die Gerade $g$ dieselbe Steigung.
  $m_{B_{3} D_{3}} = m_{g}$
  
  $\frac{0,75 x - 4,5}{- 0,75 x + 8,5} = 0,25$
  $0,75 x - 4,5 = 0,25 \dot{(} - 0,75 x + 8,5)$
  $3 x - 18 = - 0,75 x + 8,5$
  $3,75 x = 26,5$
  $x = 7,07$
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4. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
  $A (x) =$ $(0,84 x^{2} - 14,63 x + 69,38) FE$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Für diese Teilaufgabe benötigst Du die Formel, wie man den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet.
  $A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} = 0,5 \cdot A_{n} C_{n} \cdot B_{n} D_{n}$
  Laut Angabe gilt: $A_{n} C_{n} = 1,5 \cdot B_{n} D_{n}$
  $\Rightarrow A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} = 0,5 \cdot 1,5 \cdot (B_{n} D_{n})^{2}$
  Für die Berechnung von $B_{n} D_{n} (x)$ benutze den Satz des Pythagoras.
  $B_{n} D_{n} (x) = \sqrt{(- 0,75 x + 8,5)^{2} + (0,75 x - 4,5)^{2}} LE$
  $A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,5 \cdot 1,5 (\sqrt{(- 0,75 x + 8,5)^{2} + (0,75 x - 4,5)^{2}})^{2} FE$
  $A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,5 \cdot 1,5 \cdot [(- 0,75 x + 8,5)^{2} + (0,75 x - 4,5)^{2}] FE$
  $A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,75 \cdot [(0,5625 x^{2} - 12,75 x + 72,25) + (0,5625 x^{2} - 6,75 x + 20,25)] FE$
  $A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,75 \cdot (1,125 x^{2} - 19,5 x + 92,5) FE$
  $A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = (0,84 x^{2} - 14,63 x + 69,38) FE$
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5. Im Drachenviereck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ haben die Punkte $A_{4}$ und $C_{4}$ dieselbe Abszisse. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Im Drachenviereck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ gilt: $y_{B_{4}} = y_{D_{4}}$ .
  $0,25 x + 3,5 = x - 1$
  $4,5 = 0,75 x$
  $x = 6$
  $A_{A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}} (6) = 0,84 \cdot (6)^{2} - 14,63 \cdot 6 + 69,38$
  $A_{A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}} = 30,24 - 87,78 + 69,38 = 11,84 FE$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das gleichschenklige Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $A B C D E F$ . Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $[A C]$ . Der Punkt $D$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ und der Punkt $N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[D F]$ .
Es gilt: $A C = 12 cm; M B = 8 cm; A D = 5 cm$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $A B C D E F$ , wobei die Strecke $[M B]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $B$ liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ}$ .
  Zeichnen Sie sodann die Strecke $[B N]$ ein und berechnen Sie das Maß des Winkels $N B M$ .
  
  Unter Berücksichtigung von $q = \frac{1}{2}$ und $ω = 45 °$ sollte dein Schrägbild von der folgenden Gestalt sein:
  Die Strecke $[B N]$ ist in der Skizze orange markiert. Der Winkel $∠ N B M$ ist grün markiert.
  Um die Größe des Winkels $∠ N B M$ zu berechnen, betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $N M B$ und benutzt den Tangens. Es gilt
  $\tan (∠ N B M) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{N M}{M B} = \frac{5 cm}{8 cm} = \frac{5}{8} .$
  Mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens erhält man dann
  $∠ N B M = \tan^{- 1} (\frac{5}{8}) = 32,01 ° .$
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2. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M B]$ . Die Winkel $P_{n} E B$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}, {57,99}^{\circ}]$ . Die Strecken $[B N]$ und $[E P_{n}]$ schneiden sich in Punkten $Q_{n}$ .
  Zeichnen Sie für $φ = 45^{\circ}$ die Strecke $[E P_{1}]$ und den Punkt $Q_{1}$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
  Begründen Sie sodann rechnerisch die obere Intervallgrenze für $φ$ .
  
  Die Strecke $[E P_{1}]$ und der Punkt $Q_{1}$ ist unten eingezeichnet.
  Um die obere Intervallgrenze für $φ$ zu begründen, betrachtet man das Dreieck $M B E$ . Verwendest du erneut den Tangens, so gilt
  $\tan (φ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{M B}{B E} = \frac{8 cm}{5 cm} = \frac{8}{5} .$
  Die Umkehrfunktion führt auf
  $φ = \tan^{- 1} (\frac{8}{5}) = 57,99 ° .$
  Da die Punkte $P_{n}$ variabel auf der Strecke $[M B]$ liegen und somit $P_{n}$ niemals links von $B$ liegen kann, muss entsprechend für den Winkel $φ$ gelten, dass $φ \leq 57,99 °$ ist.
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3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[E Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $E Q_{n} (φ) = \frac{4,24}{\sin (φ + {57,99}^{\circ})} cm .$
  Unter den Strecken $[E Q_{n}]$ hat die Strecke $[E Q_{0}]$ die minimale Länge.
  Berechnen Sie die Länge der Strecke $[N Q_{0}]$ .
  
  In dieser Teilaufgabe betrachtet man die Dreiecke $E Q_{n} B$ . Mithilfe des Sinussatzes in allgemeinen Dreiecken gewinnst du die Beziehung
  $\frac{E Q_{n} (φ)}{\sin (∠ E B Q_{n})} = \frac{E B}{\sin (∠ B Q_{n} E)} .$
  Du kannst diese Gleichung direkt nach der gesuchten Größe $E Q_{n} (φ)$ umstellen und einsetzen, dass $E B = 5 cm$ ist, sodass du erhältst:
  $E Q_{n} (φ) = \frac{5 cm \cdot \sin (∠ E B Q_{n})}{\sin (∠ B Q_{n} E)} .$
  An dieser Stelle musst du versuchen, etwas über die beiden in der Formel vorkommenden Winkel aussagen zu können.
  Betrachte zunächst den Winkel $∠ E B Q_{n}$ . Da die Seite $[M B]$ senkrecht auf der Seite $[E B]$ steht und die beiden Seiten somit einen $90 °$ Winkel bilden, gilt zusammen mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a), dass
  $∠ E B Q_{n} = 90 ° - 32,01 ° = 57,99 ° .$
  Da die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck $180 °$ beträgt, gilt somit in dem von uns betrachteten Dreieck $E Q_{n} B$ :
  $∠ B Q_{n} E = 180 ° - φ - 57,99 ° = 180 ° - (φ + 57,99 °) .$
  Damit kannst du nun schreiben:
  $E Q_{n} (φ) = \frac{5 cm \cdot \sin (57,99 °)}{\sin (180 ° - (φ + 57,99 °))} = \frac{4,24 cm}{\sin (φ + 57,99 °)},$
  wobei im letzten Schritt ausgenutzt wurde, dass der Sinus die bekannte Eigenschaft besitzt, dass $\sin (180 ° - x) = \sin (x)$ gilt.
  Die Länge der Strecke $[E Q_{n} (φ)]$ wird minimal, wenn der Nenner $\sin (φ + 57,99 °)$ seinen größten Wert annimmt. Der maximale Wert, den die Sinusfunktion annimmt, ist $1$ , sodass die minimale Länge der Strecke $[E Q_{0}]$ sich berechnet zu
  $E Q_{0} = 4,24 cm .$
  Um nun die Strecke $[N Q_{0}]$ zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $N Q_{0} E$ benutzen.
  Dass das Dreieck tatsächlich rechtwinklig ist, liegt darin begründet, dass die Strecke $[E Q_{0}]$ minimal sein soll. Jene Strecke ist genau dann minimal, wenn $[E Q_{0}]$ das Lot auf $[N B]$ ist und somit nach Definition des Lots die Strecke $[N B]$ in einem rechten Winkel schneidet.
  Es folgt somit:
  $N Q_{0} = \sqrt{(8 cm)^{2} - (4,24 cm)^{2}} = 6,78 cm .$
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4. Der Punkt $A$ ist die Spitze von Pyramiden $Q_{n} B E A$ mit den Grundflächen $Q_{n} B E$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $Q_{1} B E A$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $Q_{n} B E A$ in Abhängigkeit von $φ$ .
  [Ergebnis: $V (φ) = \frac{21,2 \cdot \sin (φ)}{\sin (φ + {57,99}^{\circ})} {cm}^{3}$ ]
  
  Nachdem du die Pyramide in dein Schrägbild eingezeichnet hast, sollte es wie folgt aussehen:
  Das Volumen der Pyramide berechnet sich über die Formel
  $V (φ) = \frac{1}{3} \cdot \underset{Grundfläche der Pyramide}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \cdot E Q_{n} \cdot E B \cdot \sin φ}} \cdot \underset{Höhe}{\underset{⏟}{A M}} .$
  Setzen wir die bekannten Größen ein, so ergibt sich:
  $\begin{array}{c} V (φ) & = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E Q_{n} \cdot E B \cdot \sin φ \cdot A M \\ = & (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4,24}{\sin (φ + 57,99 °)} \cdot 5 \cdot \sin φ \cdot 6) {cm}^{3} \\ = & \frac{21,2 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 57,99 °)} {cm}^{3} . \end{array}$
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5. Das Volumen der Pyramide $Q_{2} B E A$ ist um $95 %$ kleiner als das Volumen des Prismas $A B C D E F$ .
  Berechnen Sie das zugehörige Maß für $φ$ .
  
  Zunächst berechnet man das Volumen des Prismas. Es gilt nach der bekannten Formel zur Berechnung eines Prismenvolumens: $V_{Prisma} = G \cdot h$
  Die Grundfläche $G$ ist das gleichschenklige Dreieck $A B C$ : $\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot M B$
  Mit den Werten $A C = 12 cm; M B = 8 cm$ folgt dann:
  $G = \frac{1}{2} \cdot 12 cm \cdot 8 cm$
  Somit erhältst du für das Prismenvolumen mit $h = A D = 5 cm$
  $V_{Prisma} = V_{ABCDEF} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot 5 {cm}^{3} = 240 {cm}^{3} .$
  Das Pyramidenvolumen ist um $95 %$ kleiner als das eben berechnete Volumen. Es beträgt also nur $5 %$ von $240 {cm}^{3}$ , das heißt
  $V_{Pyramide} = 0,05 \cdot 240 {cm}^{3} = 12 {cm}^{3} .$
  Damit erhält man die Gleichung
  $\frac{21,2 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 57,99 °)} {cm}^{3} = 12 {cm}^{3},$
  die du nach $φ$ umstellen musst. Dazu bringst du die Gleichung am besten auf folgende Form:
  $\frac{21,2}{12} = \frac{\sin (φ + 57,99 °)}{\sin φ} .$
  Mithilfe des Additionstheorems $\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β$ kannst du den Zähler des Bruchs auf der rechten Seite der Gleichung schreiben als
  $\begin{array}{c} \frac{21,2}{12} = \frac{\sin (φ + 57,99 °)}{\sin φ} & = & \frac{\sin φ \cdot \cos 57,99 ° + \cos φ \cdot \sin 57,99 °}{\sin φ} \\ = & \cos 57,99 ° + \frac{\cos φ}{\sin φ} \cdot \sin 57,99 ° . \end{array}$
  Umstellen dieser Gleichung führt auf
  $\frac{\frac{53}{30} - \cos 57,99 °}{\sin 57,99 °} = \frac{\cos φ}{\sin φ} = \frac{1}{\tan φ}$
  beziehungsweise äquivalent
  $\tan φ = \frac{\sin 57,99 °}{\frac{53}{30} - \cos 57,99 °} .$
  Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens auf diesen Ausdruck an, so erhältst du
  $φ = \tan^{- 1} (\frac{\sin 57,99 °}{\frac{53}{30} - \cos 57,99 °}) = 34,44 ° .$
  Das zugehörige Maß für den Winkel $φ$ ist also
  $φ = 34,44 ° .$
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