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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

  1. 1

    Gegeben sind die Geraden gg mit der Gleichung y=0,25x+6y=0{,}25x+6 und hh mit der Gleichung y=x1y=x-1 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Punkte Dn(xx1)D_n(x\vert x-1) mit der Abszisse xx liegen auf der Geraden hh. Punkte AnA_n auf der Geraden gg haben eine um 22 kleinere Abszisse als die Punkte DnD_n.

    Die Punkte AnA_n und DnD_n bilden zusammen mit Punkten BnB_n und CnC_n Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit den Symmetrieachsen AnCnA_nC_n.

    Es gilt: BnAnDn=90;  AnCn=1,5BnDn\sphericalangle B_nA_nD_n=90^\circ;\;\overline{A_nC_n}=1{,}5\cdot\overline{B_nD_n}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Geraden gg und hh sowie die Drachenvierecke A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 fürx=2x=2 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=7x=7 in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 6x8;    5y8-6\leq x\leq8;\;\;-5\leq y\leq8.

    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte AnA_n und BnB_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte DnD_n.

      [Ergebnisse: AnA_n(x20,25x+5,5)(x-2|0{,}25x+5{,}5); BnB_n(1,75x8,50,25x+3,5)(1{,}75x-8{,}5|0{,}25x+3{,}5)]

    3. Die Diagonale [B3D3B_3D_3] des Drachenvierecks A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 liegt parallel zur Geraden gg. Berechnen Sie die Abszisse xx des Punktes D3D_3.

    4. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt AA der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von xx gilt:

      A(x)=A(x) = (0,84x214,63x+69,38)  FE(0{,}84x^2-14{,}63x+69{,}38)\;\text{FE}.

    5. Im Drachenviereck A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 haben die Punkte A4A_4 und C4C_4 dieselbe Abszisse. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4.

  2. 2

    Das gleichschenklige Dreieck ABCABC ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFABCDEF. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Basis [AC] [AC]. Der Punkt DD liegt senkrecht über dem Punkt AA und der Punkt NN ist der Mittelpunkt der Strecke [DF][DF].

    Es gilt: AC=12 cm;MB=8 cm;AD=5 cm\overline{AC}=12\ \text{cm};\overline{MB}=8\ \text{cm};\overline{AD}=5\ \text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF, wobei die Strecke [MB][MB] auf der Schrägbildachse und der Punkt MM links vom Punkt BB liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12; ω=45q=\frac12;\ \omega=45^\circ.

      Zeichnen Sie sodann die Strecke [BN][BN] ein und berechnen Sie das Maß des Winkels NBM NBM.

    2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [MB][MB]. Die Winkel PnEBP_nEB haben das Maß φ\varphi mit φ  ]  0,57,99]\varphi\in\;\rbrack\;0^\circ,57{,}99^\circ\rbrack. Die Strecken [BN][BN] und [EPn][EP_n] schneiden sich in Punkten QnQ_n.

      Zeichnen Sie für φ=45\varphi=45^\circ die Strecke [EP1][EP_1] und den Punkt Q1Q_1 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

      Begründen Sie sodann rechnerisch die obere Intervallgrenze für φ\varphi.

    3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken[EQn][EQ_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      Unter den Strecken [EQn][EQ_n] hat die Strecke [EQ0][EQ_0] die minimale Länge.

      Berechnen Sie die Länge der Strecke [NQ0][NQ_0].

    4. Der Punkt AA ist die Spitze von Pyramiden QnBEAQ_nBEA mit den Grundflächen QnBEQ_nBE.

      Zeichnen Sie die Pyramide Q1BEAQ_1BEA in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen VVder Pyramiden QnBEAQ_nBEA in Abhängigkeit von φ\varphi.

      [Ergebnis: V(φ)=21,2sin(φ)sin(φ+57,99) cm3V(\varphi)=\dfrac{21{,}2\cdot\sin\left(\varphi\right)}{\sin\left(\varphi+57{,}99^\circ\right)}\ \text{cm}^3 ]

    5. Das Volumen der Pyramide Q2BEAQ_2BEA ist um 95  %95\;\% kleiner als das Volumen des Prismas ABCDEFABCDEF.

      Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ\varphi.


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