Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Das gleichschenklige Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $A B C D E F$ . Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $[A C]$ . Der Punkt $D$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ und der Punkt $N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[D F]$ .

Es gilt: $A C = 12 cm; M B = 8 cm; A D = 5 cm$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $A B C D E F$ , wobei die Strecke $[M B]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $B$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ}$ .
Zeichnen Sie sodann die Strecke $[B N]$ ein und berechnen Sie das Maß des Winkels $N B M$ .

Unter Berücksichtigung von $q = \frac{1}{2}$ und $ω = 45 °$ sollte dein Schrägbild von der folgenden Gestalt sein:
Die Strecke $[B N]$ ist in der Skizze orange markiert. Der Winkel $∠ N B M$ ist grün markiert.
Um die Größe des Winkels $∠ N B M$ zu berechnen, betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $N M B$ und benutzt den Tangens. Es gilt
$\tan (∠ N B M) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{N M}{M B} = \frac{5 cm}{8 cm} = \frac{5}{8} .$
Mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens erhält man dann
$∠ N B M = \tan^{- 1} (\frac{5}{8}) = 32,01 ° .$
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Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M B]$ . Die Winkel $P_{n} E B$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}, {57,99}^{\circ}]$ . Die Strecken $[B N]$ und $[E P_{n}]$ schneiden sich in Punkten $Q_{n}$ .
Zeichnen Sie für $φ = 45^{\circ}$ die Strecke $[E P_{1}]$ und den Punkt $Q_{1}$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
Begründen Sie sodann rechnerisch die obere Intervallgrenze für $φ$ .

Die Strecke $[E P_{1}]$ und der Punkt $Q_{1}$ ist unten eingezeichnet.
Um die obere Intervallgrenze für $φ$ zu begründen, betrachtet man das Dreieck $M B E$ . Verwendest du erneut den Tangens, so gilt
$\tan (φ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{M B}{B E} = \frac{8 cm}{5 cm} = \frac{8}{5} .$
Die Umkehrfunktion führt auf
$φ = \tan^{- 1} (\frac{8}{5}) = 57,99 ° .$
Da die Punkte $P_{n}$ variabel auf der Strecke $[M B]$ liegen und somit $P_{n}$ niemals links von $B$ liegen kann, muss entsprechend für den Winkel $φ$ gelten, dass $φ \leq 57,99 °$ ist.
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[E Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
$E Q_{n} (φ) = \frac{4,24}{\sin (φ + {57,99}^{\circ})} cm .$
Unter den Strecken $[E Q_{n}]$ hat die Strecke $[E Q_{0}]$ die minimale Länge.
Berechnen Sie die Länge der Strecke $[N Q_{0}]$ .

In dieser Teilaufgabe betrachtet man die Dreiecke $E Q_{n} B$ . Mithilfe des Sinussatzes in allgemeinen Dreiecken gewinnst du die Beziehung
$\frac{E Q_{n} (φ)}{\sin (∠ E B Q_{n})} = \frac{E B}{\sin (∠ B Q_{n} E)} .$
Du kannst diese Gleichung direkt nach der gesuchten Größe $E Q_{n} (φ)$ umstellen und einsetzen, dass $E B = 5 cm$ ist, sodass du erhältst:
$E Q_{n} (φ) = \frac{5 cm \cdot \sin (∠ E B Q_{n})}{\sin (∠ B Q_{n} E)} .$
An dieser Stelle musst du versuchen, etwas über die beiden in der Formel vorkommenden Winkel aussagen zu können.
Betrachte zunächst den Winkel $∠ E B Q_{n}$ . Da die Seite $[M B]$ senkrecht auf der Seite $[E B]$ steht und die beiden Seiten somit einen $90 °$ Winkel bilden, gilt zusammen mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a), dass
$∠ E B Q_{n} = 90 ° - 32,01 ° = 57,99 ° .$
Da die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck $180 °$ beträgt, gilt somit in dem von uns betrachteten Dreieck $E Q_{n} B$ :
$∠ B Q_{n} E = 180 ° - φ - 57,99 ° = 180 ° - (φ + 57,99 °) .$
Damit kannst du nun schreiben:
$E Q_{n} (φ) = \frac{5 cm \cdot \sin (57,99 °)}{\sin (180 ° - (φ + 57,99 °))} = \frac{4,24 cm}{\sin (φ + 57,99 °)},$
wobei im letzten Schritt ausgenutzt wurde, dass der Sinus die bekannte Eigenschaft besitzt, dass $\sin (180 ° - x) = \sin (x)$ gilt.
Die Länge der Strecke $[E Q_{n} (φ)]$ wird minimal, wenn der Nenner $\sin (φ + 57,99 °)$ seinen größten Wert annimmt. Der maximale Wert, den die Sinusfunktion annimmt, ist $1$ , sodass die minimale Länge der Strecke $[E Q_{0}]$ sich berechnet zu
$E Q_{0} = 4,24 cm .$
Um nun die Strecke $[N Q_{0}]$ zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $N Q_{0} E$ benutzen.
Dass das Dreieck tatsächlich rechtwinklig ist, liegt darin begründet, dass die Strecke $[E Q_{0}]$ minimal sein soll. Jene Strecke ist genau dann minimal, wenn $[E Q_{0}]$ das Lot auf $[N B]$ ist und somit nach Definition des Lots die Strecke $[N B]$ in einem rechten Winkel schneidet.
Es folgt somit:
$N Q_{0} = \sqrt{(8 cm)^{2} - (4,24 cm)^{2}} = 6,78 cm .$
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Der Punkt $A$ ist die Spitze von Pyramiden $Q_{n} B E A$ mit den Grundflächen $Q_{n} B E$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $Q_{1} B E A$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $Q_{n} B E A$ in Abhängigkeit von $φ$ .
[Ergebnis: $V (φ) = \frac{21,2 \cdot \sin (φ)}{\sin (φ + {57,99}^{\circ})} {cm}^{3}$ ]

Nachdem du die Pyramide in dein Schrägbild eingezeichnet hast, sollte es wie folgt aussehen:
Das Volumen der Pyramide berechnet sich über die Formel
$V (φ) = \frac{1}{3} \cdot \underset{Grundfläche der Pyramide}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \cdot E Q_{n} \cdot E B \cdot \sin φ}} \cdot \underset{Höhe}{\underset{⏟}{A M}} .$
Setzen wir die bekannten Größen ein, so ergibt sich:
$\begin{array}{c} V (φ) & = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E Q_{n} \cdot E B \cdot \sin φ \cdot A M \\ = & (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4,24}{\sin (φ + 57,99 °)} \cdot 5 \cdot \sin φ \cdot 6) {cm}^{3} \\ = & \frac{21,2 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 57,99 °)} {cm}^{3} . \end{array}$
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Das Volumen der Pyramide $Q_{2} B E A$ ist um $95 %$ kleiner als das Volumen des Prismas $A B C D E F$ .
Berechnen Sie das zugehörige Maß für $φ$ .

Zunächst berechnet man das Volumen des Prismas. Es gilt nach der bekannten Formel zur Berechnung eines Prismenvolumens: $V_{Prisma} = G \cdot h$
Die Grundfläche $G$ ist das gleichschenklige Dreieck $A B C$ : $\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot M B$
Mit den Werten $A C = 12 cm; M B = 8 cm$ folgt dann:
$G = \frac{1}{2} \cdot 12 cm \cdot 8 cm$
Somit erhältst du für das Prismenvolumen mit $h = A D = 5 cm$
$V_{Prisma} = V_{ABCDEF} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot 5 {cm}^{3} = 240 {cm}^{3} .$
Das Pyramidenvolumen ist um $95 %$ kleiner als das eben berechnete Volumen. Es beträgt also nur $5 %$ von $240 {cm}^{3}$ , das heißt
$V_{Pyramide} = 0,05 \cdot 240 {cm}^{3} = 12 {cm}^{3} .$
Damit erhält man die Gleichung
$\frac{21,2 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 57,99 °)} {cm}^{3} = 12 {cm}^{3},$
die du nach $φ$ umstellen musst. Dazu bringst du die Gleichung am besten auf folgende Form:
$\frac{21,2}{12} = \frac{\sin (φ + 57,99 °)}{\sin φ} .$
Mithilfe des Additionstheorems $\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β$ kannst du den Zähler des Bruchs auf der rechten Seite der Gleichung schreiben als
$\begin{array}{c} \frac{21,2}{12} = \frac{\sin (φ + 57,99 °)}{\sin φ} & = & \frac{\sin φ \cdot \cos 57,99 ° + \cos φ \cdot \sin 57,99 °}{\sin φ} \\ = & \cos 57,99 ° + \frac{\cos φ}{\sin φ} \cdot \sin 57,99 ° . \end{array}$
Umstellen dieser Gleichung führt auf
$\frac{\frac{53}{30} - \cos 57,99 °}{\sin 57,99 °} = \frac{\cos φ}{\sin φ} = \frac{1}{\tan φ}$
beziehungsweise äquivalent
$\tan φ = \frac{\sin 57,99 °}{\frac{53}{30} - \cos 57,99 °} .$
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens auf diesen Ausdruck an, so erhältst du
$φ = \tan^{- 1} (\frac{\sin 57,99 °}{\frac{53}{30} - \cos 57,99 °}) = 34,44 ° .$
Das zugehörige Maß für den Winkel $φ$ ist also
$φ = 34,44 ° .$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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