Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Der Punkt $\textrm{C}(2|-1)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten $A_{n} B_{n} C D_{n}$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_{n}$ . Die Punkte $\textrm{A}_n(\textrm{x}|0{,}25\textrm{x}+2)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\textrm{y}=0{,}25\textrm{x}+2$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Die Diagonalen $[A_{n} C]$ der Rauten sind doppelt so lang wie die Diagonalen $[B_{n} D_{n}]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ und die Rauten $A_{1} B_{1} C D_{1}$ für $\textrm{x}=-8$ und $A_{2} B_{2} C D_{2}$ für $\textrm{x}=4$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \;\textrm{cm}; -9\leqq x \leqq5;-3\leqq y\leqq4$

Raute $A_{1} B_{1} C D_{1}$ :
Für $x = - 8$ hat der Punkt $A_{1}$ die Koordinaten $(- 8 ∣ 0)$ . Der Diagonalenschnittpunkt $M_{1}$ liegt mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_{1}$ und dem Punkt $C_{1} (2 ∣ - 1)$ :
$\overrightarrow{A_1C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \overrightarrow{M_1} &= \overrightarrow{A_1} + 0{,}5 \cdot \overrightarrow{A_1C} \\ M_1 &= \begin{pmatrix}-8\\0 \end{pmatrix} + 0{,}5\cdot\begin{pmatrix}10\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-0{,}5\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Die Länge von $|\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{10^2 + (-1)^2} \approx 10{,}05 \ \mathrm{cm}$ ist doppelt so lang wie $\overrightarrow{B_1D_1}.$ Insbesondere ist also die Länge von
da $M_{1}$ die Diagonalen halbiert. Daher gilt auch, dass
Zusätzlich wissen wir, dass sich $|\overrightarrow{A_1C}|$ und $|\overrightarrow{B_1D_1}|$ im rechten Winkel schneiden, da $A_{1} B_{1} C D_{1}$ eine Raute ist. Mit diesem Wissen können wir nun die Punkte $B_{1}$ und $D_{1}$ berechnen:
Ein Vektor, der senkrecht auf $\overrightarrow{A_1C} = \begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$ steht, ist z.B. der Vektor $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}1\\10\end{pmatrix},$ denn das Skalarprodukt $\begin{pmatrix}10\\-1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1\\10\end{pmatrix}=0.$ Der Vektor $\overrightarrow{v_1}$ hat die gleiche Länge wie $\overrightarrow{A_1C}$ . Damit können wir nun die beiden Punkte $B_{1}$ und $D_{1}$ berechnen.
und analog
Raute $A_{2} B_{2} C D_{2}$ :
Die Rechnung funktioniert analog zu der für die Raute $A_{1} B_{1} C D_{1}$ .
Für $x = 4$ ergibt sich $A_{2} (4 ∣ 3)$ . Der Punkt $M_{2}$ liegt wieder mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_{2}$ und $C$ :
$\overrightarrow{A_2C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$
Ein Vektor $\overrightarrow{v_2}$ , der senkrecht auf $\overrightarrow{A_2C}$ steht und die gleiche Länge hat, ist z.B. $\overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix}4\\-2 \end{pmatrix}$ , da das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt. Somit ergibt sich für $B_{2}$ und $D_{2}$ :
und
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Begründen Sie, weshalb die Winkel $B_{n} A_{n} C$ stets das gleiche Maß besitzen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
Für die beiden Rauten $A_{1} B_{1} C D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C D_{2}$ sind die entsprechenden Winkel in der Abbildung rot markiert. Schaut man sich nun das Dreieck $A_{n} M_{n} D_{n}$ an, so gilt dort, dass
weil die Diagonale zwischen $A_{n}$ und $C$ doppelt so lang ist wie die Diagonale zwischen $B_{n}$ und $D_{n}$ . Der Winkel ist also unabhängig von der jeweiligen Raute.
Die Winkel $D_{n} A_{n} C$ und $B_{n} A_{n} C$ sind gleich groß.
Folglich besitzen die Winkel $B_{n} A_{n} C$ stets das gleiche Maß.
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Für die Rauten $A_{3} B_{3} C D_{3}$ und $A_{4} B_{4} C D_{4}$ gilt: $\overline{A_3C}=\overline{A_4C}=7\;\mathrm{LE}$ .
Berechnen Sie die zugehörigen Belegungen von $\textrm{x}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel
Für die Strecke zwischen $A_{n}$ und $C$ gilt, dass
Die Länge von dieser Strecke
soll nun $7 \;\mathrm{LE}$ betragen:
Bei der Rechnung oben benutzt man im zweiten Schritt die binomischen Formeln. Nun kann man die linke Seite zusammenfassen:
Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also
Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also
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Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $M_{n}$ und $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $\textrm{x}$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$M_n(0{,}5\textrm{x}+1|0{,}13\textrm{x}+0{,}5)$ und $D_n(0{,}57\textrm{x}+1{,}75|-0{,}12\textrm{x}+1)$ .

Teil 1: Berechnung von $M_{n}$ :
Es gilt $\overrightarrow{A_n} = \begin{pmatrix} x \\ 0{,}25x +2 \end{pmatrix}$ und $\vec C = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$
Der Punkt $M_{n}$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen und auch Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten $A_{n}$ und $C$ , das heißt
Teil 2: Berechnung von $D_{n}$ :
Um den Punkt $D_{n}$ zu berechnen, brauchen wir als Erstes einen Vektor $\vec v$ der senkrecht auf $\overrightarrow{A_nC}= \begin{pmatrix} 2-x \\ -3 - 0{,}25x \end{pmatrix}$ steht, da sich die Diagonalen einer Raute im rechten Winkel schneiden. Da kann man zum Beispiel $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3 + 0{,}25x \\ 2 -x \end{pmatrix}$ nehmen, denn das Skalarprodukt von $\vec v$ und $\overrightarrow{A_nC}$ ist null.
Zusätzlich wissen wir, dass die Diagonale $\overrightarrow{A_nC}$ doppelt so lang ist wie die Diagonale $\overrightarrow{B_nD_n}$ und beide Diagonalen von $M_{n}$ halbiert werden. Insbesondere gilt dann
Den Punkt $D_{n}$ kann man nun also berechnen:
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Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ .

Wie in der vorherigen Teilaufgabe d) ausgerechnet gilt für die Punkte $D_{n}$ , dass
Anders kann man auch schreiben
Um nun den Trägergraphen $t$ (oder auch Ortskurve) der Punkte $D_{n}$ zu bestimmen, löst man die erste/obere der beiden Gleichungen nach $x$ auf und setzt das dann in die zweite/untere Gleichung ein.
Einsetzen in $y_{D_n}:$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}y_{D_n} &= 1 - 0{,}12 \cdot\big( 1{,}75x_{D_n} - 3{,}07 \big) \\y_{D_n} &= 1 - 0{,}21x_{D_n} + 0{,}37 \\y_{D_n} &= 1{,}37 - 0{,}21x_{D_n}. \end{aligned}$
Das heißt, es gilt für den Trägergraphen
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Bei der Raute $A_{5} B_{5} C D_{5}$ liegt der Punkt $D_{5}$ ebenfalls auf der Geraden $g$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $A_{5}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
Nach Teilaufgabe d) hat der Punkt $D_{5}$ die folgenden Koordinaten
Wie in Teilaufgabe e) kann man auch schreiben
Der Punkt $D_{5}$ der Raute $A_{5} B_{5} C D_{5}$ soll nun auf der Geraden $g (x) = 0,25 x + 2$ liegen, das heißt
Einsetzen der beiden obigen Gleichungen ergibt nun
Für die y-Koordinaten des Punktes $A_{5}$ setze $x = - 5,48$ in $y=0{,}25\cdot x+2$ ein.
$y=0{,}25\cdot(-5{,}48)+2=0{,}63$
Der Punkt $A_{5}$ hat somit die Koordinaten:
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