Raute $A_1B_1CD_1$:

Für $x=-8$ hat der Punkt $A_1$ die Koordinaten $(-8|0)$. Der Diagonalenschnittpunkt $M_1$ liegt mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_1$ und dem Punkt $C_1(2|-1)$:

$\overrightarrow{A_1C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \overrightarrow{M_1} &= \overrightarrow{A_1} + 0{,}5 \cdot \overrightarrow{A_1C} \\ M_1 &= \begin{pmatrix}-8\\0 \end{pmatrix} + 0{,}5\cdot\begin{pmatrix}10\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-0{,}5\end{pmatrix}. \end{aligned}$

Die Länge von $|\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{10^2 + (-1)^2} \approx 10{,}05 \ \mathrm{cm}$ ist doppelt so lang wie $\overrightarrow{B_1D_1}.$ Insbesondere ist also die Länge von

da $M_1$ die Diagonalen halbiert. Daher gilt auch, dass

Zusätzlich wissen wir, dass sich $|\overrightarrow{A_1C}|$ und $|\overrightarrow{B_1D_1}|$ im rechten Winkel schneiden, da $A_1B_1CD_1$ eine Raute ist. Mit diesem Wissen können wir nun die Punkte $B_1$ und $D_1$ berechnen:

Ein Vektor, der senkrecht auf $\overrightarrow{A_1C} = \begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$ steht, ist z.B. der Vektor $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}1\\10\end{pmatrix},$ denn das Skalarprodukt $\begin{pmatrix}10\\-1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1\\10\end{pmatrix}=0.$ Der Vektor $\overrightarrow{v_1}$ hat die gleiche Länge wie $\overrightarrow{A_1C}$. Damit können wir nun die beiden Punkte $B_1$ und $D_1$ berechnen.

und analog

Raute $A_2B_2CD_2$:

Die Rechnung funktioniert analog zu der für die Raute $A_1B_1CD_1$.

Für $x=4$ ergibt sich $A_2(4|3)$. Der Punkt $M_2$ liegt wieder mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_2$ und $C$:

$\overrightarrow{A_2C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$

Ein Vektor $\overrightarrow{v_2}$, der senkrecht auf $\overrightarrow{A_2C}$ steht und die gleiche Länge hat, ist z.B. $\overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix}4\\-2 \end{pmatrix}$, da das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt. Somit ergibt sich für $B_2$ und $D_2$:

und

Für die beiden Rauten $A_1B_1CD_1$ und $A_2B_2CD_2$ sind die entsprechenden Winkel in der Abbildung rot markiert. Schaut man sich nun das Dreieck $A_nM_nD_n$ an, so gilt dort, dass

weil die Diagonale zwischen $A_n$ und $C$ doppelt so lang ist wie die Diagonale zwischen $B_n$ und $D_n$. Der Winkel ist also unabhängig von der jeweiligen Raute.

Die Winkel $D_nA_nC$ und $B_nA_nC$ sind gleich groß.

Folglich besitzen die Winkel $B_nA_nC$ stets das gleiche Maß.

Für die Strecke zwischen $A_n$ und $C$ gilt, dass

Die Länge von dieser Strecke

soll nun $7 \;\mathrm{LE}$ betragen:

Bei der Rechnung oben benutzt man im zweiten Schritt die binomischen Formeln. Nun kann man die linke Seite zusammenfassen:

Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also

Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also

Teil 1: Berechnung von $M_n$:

Es gilt $\overrightarrow{A_n} = \begin{pmatrix} x \\ 0{,}25x +2 \end{pmatrix}$ und $\vec C = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$

Der Punkt $M_n$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen und auch Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten $A_n$ und $C$, das heißt

Teil 2: Berechnung von $D_n$:

Um den Punkt $D_n$ zu berechnen, brauchen wir als Erstes einen Vektor $\vec v$ der senkrecht auf $\overrightarrow{A_nC}= \begin{pmatrix} 2-x \\ -3 - 0{,}25x \end{pmatrix}$ steht, da sich die Diagonalen einer Raute im rechten Winkel schneiden. Da kann man zum Beispiel $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3 + 0{,}25x \\ 2 -x \end{pmatrix}$ nehmen, denn das Skalarprodukt von $\vec v$ und $\overrightarrow{A_nC}$ ist null.

Zusätzlich wissen wir, dass die Diagonale $\overrightarrow{A_nC}$ doppelt so lang ist wie die Diagonale $\overrightarrow{B_nD_n}$ und beide Diagonalen von $M_n$ halbiert werden. Insbesondere gilt dann

Den Punkt $D_n$ kann man nun also berechnen:

Wie in der vorherigen Teilaufgabe d) ausgerechnet gilt für die Punkte $D_n$, dass

Anders kann man auch schreiben

Um nun den Trägergraphen $t$ (oder auch Ortskurve) der Punkte $D_n$ zu bestimmen, löst man die erste/obere der beiden Gleichungen nach $x$ auf und setzt das dann in die zweite/untere Gleichung ein.

Einsetzen in $y_{D_n}:$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}y_{D_n} &= 1 - 0{,}12 \cdot\big( 1{,}75x_{D_n} - 3{,}07 \big) \\y_{D_n} &= 1 - 0{,}21x_{D_n} + 0{,}37 \\y_{D_n} &= 1{,}37 - 0{,}21x_{D_n}. \end{aligned}$

Das heißt, es gilt für den Trägergraphen

Nach Teilaufgabe d) hat der Punkt $D_5$ die folgenden Koordinaten

Wie in Teilaufgabe e) kann man auch schreiben

Der Punkt $D_5$ der Raute $A_5B_5CD_5$ soll nun auf der Geraden $g(x) = 0{,}25x + 2$ liegen, das heißt

Einsetzen der beiden obigen Gleichungen ergibt nun

Für die y-Koordinaten des Punktes $A_5$ setze $x=-5{,}48$ in $y=0{,}25\cdot x+2$ ein.

$y=0{,}25\cdot(-5{,}48)+2=0{,}63$

Der Punkt $A_5$ hat somit die Koordinaten: