Nachtermin Teil B

Da der Logarithmus und damit auch die Funktion $f_1$ jeden Wert annehmen kann ist der Wertebereich ganz $\mathbb{R}$.

Um den Graphen zu $f_1$ zu $x\in[-4{,}5;8{,}5]$ zu zeichnen, kann man sich als Hilfe z. B. eine Wertetabelle erstellen:

Der Graph zu $f_1$ sieht wie folgt aus:

Der Schnittpunkt $S$ des Graphen der Funktion $f_1$ mit der $x$-Achse entspricht den Nullstellen von $f_1$. Wir rechnen also

Dies lässt sich umformen zu

Mithilfe der Definition des Logarithmus heißt das, dass

Nun können wir nach $x$ auflösen:

Der Schnittpunkt $S$ hat also die Koordinaten $S(-2{,}75|0)$.

Als Erstes wird die Funktion $f_1$ an der $x$-Achse gespiegelt: alle Werte, die oberhalb der $x$-Achse waren, befinden sich nach der Spiegelung unterhalb der $x$-Achse; umgekehrt befinden sich alle Werte, die unterhalb der $x$-Achse waren, nach der Spiegelung oberhalb der $x$-Achse. Das erreicht man, indem man die Funktion $f_1$ mit $-1$ multipliziert. Positive Werte werden dadurch negativ und negative Werte werden dadurch positiv.

Zum Beispiel gilt $f_1(-4{,}5) = 3{,}71$. Der Wert der gespiegelten Funktion an der Stelle $-4{,}5$ beträgt, wenn man mit $-1$ multipliziert, demnach $-3{,}71$.

Die gespiegelte Funktion hat also die Gleichung

Anschließend wird $f_{\mathrm{gespiegelt}}$ um $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\0{,}5\end{pmatrix}$ parallel verschoben, d.h. $f_{\mathrm{gespiegelt}}$ wird um $2$ in $x$-Richtung und um $0{,}5$ in $y$-Richtung verschoben. Eine Verschiebung in $x$-Richtung erreicht man indem man $x$ durch $x-2$ ersetzt (Achtung mit dem Vorzeichen, siehe auch diesen Artikel). Dadurch wird die ganze Funktion um $2$ nach rechts geschoben.

Verschiebung um $2$ in $x$-Richtung:

Eine Verschiebung in $y$-Richtung erreicht man indem man nun $f_{\mathrm{gespiegelt}} +0{,}5$ rechnet. Dadurch wird die ganze Funktion um $0{,}5$ nach oben verschoben.

Verschiebung um $0{,}5$ in $y$-Richtung

Das entspricht genau der Gleichung von $f_2$.

Die Funktion $f_2$ kann, genau wie $f_1$, jeden Wert annehmen, der Wertebereich ist also ganz $\mathbb{R}$. Die gemachten Modifikationen (Spiegelung und Verschiebung) ändern daran nichts. Als Hilfestellung für die Zeichnung kann man wieder eine Wertetabelle für $x\in[-2{,}5;8{,}5]$ anfertigen:

Der Graph sieht wie folgt aus:

1) Parallelogramm $A_1B_1C_1D_1$:

Die Punkte $A_1$ und $B_1$ erhält man, indem man für $x$ den Wert $-0{,}5$ einsetzt. Das heißt

und

Den Punkt $C_1$ erhält man, indem man den Punkt $B_1$ um den Vektor $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$, also $4$ in $x$-Richtung und $2$ in $y$-Richtung, verschiebt. Es gilt also

Da es sich um ein Parallelogramm handelt, erhält man den Punkt $D_1$ analog als Verschiebung von $A_1$ um den Vektor $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} ,$

2) Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$:

Um das Parallelogramm $A_1B_1C_1D_1$ zeichnen zu können, verfährt man analog zu mit dem Wert $x=4$. Man erhält demnach

Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm, bei dem sich die Diagonalen im rechten Winkel treffen und alle Seiten gleichlang sind (siehe auch dieser Artikel über Rauten). Das können wir in dieser Teilaufgabe nutzen.

Wir wissen aus der Aufgabenstellung aus Teilaufgabe d), dass $\overrightarrow{B_3C_3} = \begin{pmatrix}2\\0{,}5\end{pmatrix}$. Die Länge der Strecke $\overline{B_3C_3}$ können wir also berechnen:

Da alle Seiten bei einer Raute gleichlang sein müssen, muss auch die Länge der Strecke $\overline{B_3A_3}=4{,}47\ \mathrm{LE}$ sein. Es gilt $A_3(x|\log_{1.5}(x+3)-1{,}5)$ und $B_3 (x|-\log_{1.5}(x+5) +2)$, wobei $x>-1{,}73$ sein muss. Daher ist

und daher die Länge von $\overrightarrow{B_3A_3}:$

$\overline{B_3A_3}=\mathrm{\log}_{1{,}5}(x+3)+\mathrm{\log}_{1{,}5}(x+5)-3{,}5\;\mathrm{LE}$

Nun gilt $\overline{B_3A_3}=4{,}47\;\mathrm{LE},$ also

Addieren wir auf beiden Seiten nun $3{,}5$ gibt das

Nun können wir die Produktregel des Logarithmus anwenden und erhalten

Oder, anders geschrieben,

Die Klammern auf der rechten Seite können wir ausmultiplizieren

Das ist eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der Mitternachtsformel lösen können:

ergibt $x_1=1{,}13$ und $x_2=-9{,}13.$ Da für den Punkt $A_3(x|\mathrm{\log}_{1{,}5}(x+3)-1.5)$ gelten muss und wir wissen, dass $x>-1.73$ sein muss, kann $x_2$ keine Lösung sein. Daher gilt

Der Winkel $C_4B_4D_4$ befindet sich beim Punkt $B_4$; wir nennen ihn $\beta.$ Der Winkel $B_4A_4D_4$ befindet sich beim Punkt $A_4$; wir nennen ihn $\alpha.$ Aus Teilaufgabe d) wissen wir, dass $\overrightarrow{B_4C_4} = \begin{pmatrix}2\\0{,}5\end{pmatrix} .$ Das können wir benutzen, um mithilfe des Tangens den Winkel $\beta$ zu berechnen:

Es gilt $\mathrm{tan}(\beta) = \frac{4}{2},$ also $\beta=\mathrm{\tan}^{-1}(\frac{4}{2})\approx63{,}43^{\circ}.$ Wenn der Winkel $\alpha$ doppelt so groß wie $\beta$ sein soll, muss $\alpha=2\cdot63{,}43^{\circ}=126{,}86^{\circ}$ sein.

In einem Parallelogramm ergeben die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ zusammen $180^\circ,$ siehe zum Beispiel dieser Artikel. Also muss gelten, dass $\alpha=180^{\circ}-63{,}43^{\circ}=116{,}57^{\circ}\ne126{,}86^{\circ}.$ Es kann also kein solches Parallelogramm $A_4B_4C_4D_4$ geben.

Raute $A_1B_1CD_1$:

Für $x=-8$ hat der Punkt $A_1$ die Koordinaten $(-8|0)$. Der Diagonalenschnittpunkt $M_1$ liegt mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_1$ und dem Punkt $C_1(2|-1)$:

$\overrightarrow{A_1C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \overrightarrow{M_1} &= \overrightarrow{A_1} + 0{,}5 \cdot \overrightarrow{A_1C} \\ M_1 &= \begin{pmatrix}-8\\0 \end{pmatrix} + 0{,}5\cdot\begin{pmatrix}10\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-0{,}5\end{pmatrix}. \end{aligned}$

Die Länge von $|\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{10^2 + (-1)^2} \approx 10{,}05 \ \mathrm{cm}$ ist doppelt so lang wie $\overrightarrow{B_1D_1}.$ Insbesondere ist also die Länge von

da $M_1$ die Diagonalen halbiert. Daher gilt auch, dass

Zusätzlich wissen wir, dass sich $|\overrightarrow{A_1C}|$ und $|\overrightarrow{B_1D_1}|$ im rechten Winkel schneiden, da $A_1B_1CD_1$ eine Raute ist. Mit diesem Wissen können wir nun die Punkte $B_1$ und $D_1$ berechnen:

Ein Vektor, der senkrecht auf $\overrightarrow{A_1C} = \begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$ steht, ist z.B. der Vektor $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}1\\10\end{pmatrix},$ denn das Skalarprodukt $\begin{pmatrix}10\\-1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1\\10\end{pmatrix}=0.$ Der Vektor $\overrightarrow{v_1}$ hat die gleiche Länge wie $\overrightarrow{A_1C}$. Damit können wir nun die beiden Punkte $B_1$ und $D_1$ berechnen.

und analog

Raute $A_2B_2CD_2$:

Die Rechnung funktioniert analog zu der für die Raute $A_1B_1CD_1$.

Für $x=4$ ergibt sich $A_2(4|3)$. Der Punkt $M_2$ liegt wieder mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_2$ und $C$:

$\overrightarrow{A_2C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$

Ein Vektor $\overrightarrow{v_2}$, der senkrecht auf $\overrightarrow{A_2C}$ steht und die gleiche Länge hat, ist z.B. $\overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix}4\\-2 \end{pmatrix}$, da das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt. Somit ergibt sich für $B_2$ und $D_2$:

und

Für die beiden Rauten $A_1B_1CD_1$ und $A_2B_2CD_2$ sind die entsprechenden Winkel in der Abbildung rot markiert. Schaut man sich nun das Dreieck $A_nM_nD_n$ an, so gilt dort, dass

weil die Diagonale zwischen $A_n$ und $C$ doppelt so lang ist wie die Diagonale zwischen $B_n$ und $D_n$. Der Winkel ist also unabhängig von der jeweiligen Raute.

Die Winkel $D_nA_nC$ und $B_nA_nC$ sind gleich groß.

Folglich besitzen die Winkel $B_nA_nC$ stets das gleiche Maß.

Für die Strecke zwischen $A_n$ und $C$ gilt, dass

Die Länge von dieser Strecke

soll nun $7 \;\mathrm{LE}$ betragen:

Bei der Rechnung oben benutzt man im zweiten Schritt die binomischen Formeln. Nun kann man die linke Seite zusammenfassen:

Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also

Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also

Teil 1: Berechnung von $M_n$:

Es gilt $\overrightarrow{A_n} = \begin{pmatrix} x \\ 0{,}25x +2 \end{pmatrix}$ und $\vec C = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$

Der Punkt $M_n$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen und auch Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten $A_n$ und $C$, das heißt

Teil 2: Berechnung von $D_n$:

Um den Punkt $D_n$ zu berechnen, brauchen wir als Erstes einen Vektor $\vec v$ der senkrecht auf $\overrightarrow{A_nC}= \begin{pmatrix} 2-x \\ -3 - 0{,}25x \end{pmatrix}$ steht, da sich die Diagonalen einer Raute im rechten Winkel schneiden. Da kann man zum Beispiel $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3 + 0{,}25x \\ 2 -x \end{pmatrix}$ nehmen, denn das Skalarprodukt von $\vec v$ und $\overrightarrow{A_nC}$ ist null.

Zusätzlich wissen wir, dass die Diagonale $\overrightarrow{A_nC}$ doppelt so lang ist wie die Diagonale $\overrightarrow{B_nD_n}$ und beide Diagonalen von $M_n$ halbiert werden. Insbesondere gilt dann

Den Punkt $D_n$ kann man nun also berechnen:

Wie in der vorherigen Teilaufgabe d) ausgerechnet gilt für die Punkte $D_n$, dass

Anders kann man auch schreiben

Um nun den Trägergraphen $t$ (oder auch Ortskurve) der Punkte $D_n$ zu bestimmen, löst man die erste/obere der beiden Gleichungen nach $x$ auf und setzt das dann in die zweite/untere Gleichung ein.

Einsetzen in $y_{D_n}:$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}y_{D_n} &= 1 - 0{,}12 \cdot\big( 1{,}75x_{D_n} - 3{,}07 \big) \\y_{D_n} &= 1 - 0{,}21x_{D_n} + 0{,}37 \\y_{D_n} &= 1{,}37 - 0{,}21x_{D_n}. \end{aligned}$

Das heißt, es gilt für den Trägergraphen

Nach Teilaufgabe d) hat der Punkt $D_5$ die folgenden Koordinaten

Wie in Teilaufgabe e) kann man auch schreiben

Der Punkt $D_5$ der Raute $A_5B_5CD_5$ soll nun auf der Geraden $g(x) = 0{,}25x + 2$ liegen, das heißt

Einsetzen der beiden obigen Gleichungen ergibt nun

Für die y-Koordinaten des Punktes $A_5$ setze $x=-5{,}48$ in $y=0{,}25\cdot x+2$ ein.

$y=0{,}25\cdot(-5{,}48)+2=0{,}63$

Der Punkt $A_5$ hat somit die Koordinaten: