Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke $A B_{n} M$ mit $\overline{AM}=4~\text{cm}$ und den Hypotenusen $[A B_{n}]$ .

Die Winkel $B_{n} A M$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]30^\circ;90^\circ[$ .

Der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r=\overline{MC}=2~\text{cm}$ schneidet die Seite $[A M]$ im Punkt $D$ und die Seiten $[B_{n} M]$ im Punkt $C$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Länge der Seite $[A B_{1}]$ für $\varphi=54^\circ$ .

Die Figuren $A B_{n} C D$ , die durch die Strecken $[A D], [A B_{n}]$ und $[B_{n} C]$ sowie durch den Kreisbogen $\overset{\frown}{DC}$ begrenzt wird, rotieren um die Gerade $A M$ .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\frac{16}{3}\cdot\pi\cdot(4\cdot\tan^2(\varphi)-1)~\text{cm}^3$

Lösung zu Teilaufgabe b
Du beginnst mit der Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, welcher vom linksstehenden Dreieck $A B_{n} M$ erzeugt wird. Danach subtrahierst du das Volumen der Halbkugel, welches durch den Kreisbogen $\overset{\frown}{DC}$ erzeugt wird.
Der Körper, erzeugt vom Dreieck $A B_{n} M$ , ist ein Kegel mit der Spitze $A$ , Radius $r=\overline{B_nM}$ und Höhe $h=\overline{AM}$ . Die Länge $\overline{B_nM}$ berechnest du mittels der Tangensbeziehung
$\displaystyle \tan(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{B_nM}}{\overline{AM}}.$
Setzt du nun den Wert $\overline{AM}=4\,\mathrm{cm}$ aus der Aufgabenstellung ein und löst nach $\overline{B_nM}$ auf, erhältst du
$\displaystyle \overline{B_nM}=4\cdot\tan({\varphi})\,\mathrm{(cm).}$
Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel
$\displaystyle V_\text{Kegel}=\frac \pi3 \cdot r^2\cdot h=\frac \pi3\cdot 4^2\cdot\tan^2(\varphi)\cdot 4=\frac {64}{3}\cdot\pi\cdot \tan^2(\varphi)\,\mathrm{(cm^3)}$
und Halbkugel
$\displaystyle V_\text{Halbkugel}=\frac 12 \cdot \frac43\cdot\pi\cdot r^3=\frac 23\cdot\pi\cdot\overline{MC}^3=\frac{16}{3}\cdot\pi\,\mathrm{(cm^3),}$
wobei du den Wert für $\overline{MC}$ einfach der Aufgabenstellung entnimmst. Jetzt hast du alles zusammengetragen, um das gesuchte Volumen zu berechnen:
$\displaystyle V(\varphi)=V_\text{Kegel}-V_\text{Halbkugel}=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(\varphi)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(\varphi)-1\right)\,\mathrm{(cm^3).}$
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Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $\varphi=54^\circ$

Lösung zu Teilaufgabe c
In der vorigen Teilaufgabe (b) hast du bereits das Volumen
$\displaystyle V(\varphi)=V_\text{Kegel}-V_\text{Halbkugel}=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(\varphi)-1\right)\,\mathrm{(cm^3)}$
berechnet.
Setzt du nun $\varphi=54°$ in diese Formel ein, erhältst du
$\displaystyle V(54°)=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(54°)-1\right)=110{,}21\,\mathrm{(cm^3).}$
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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$\displaystyle \displaystyle\cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{AB_1}}$	$\displaystyle \cdot \overline{AB_1}$
$\displaystyle \cos (\varphi )\cdot \overline{AB_1}$	$=$	$\displaystyle \overline{AM}$	$\displaystyle :\cos (\varphi )$
$\displaystyle \displaystyle\overline{AB_1}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\cos (\varphi )}$

Lösung zu Teilaufgabe a

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Lösung zu Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe c

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