Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

…

Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_{1}; x_{2}$ an, zum Beispiel "4;-1"

${(x - 2)}^{2} = 16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

${(x - 2)}^{2}$	$=$	$16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x - 2)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x - 2 \|$	$=$	$4$

Löse den Betrag auf. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragstrichen stehen, 4 ergeben. Nämlich 4 und -4.

1. Fall

$x - 2$	$=$	$4$	$+ 2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$6$

2. Fall

$x - 2$	$=$	$- 4$	$+ 2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 2$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen 6 und -2. Die Lösungsmenge ist dann $L = {- 2; 6}$ .

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${(x + 3)}^{2} = 25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x + 3)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x + 3 \|$	$=$	$5$

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, 5 ergeben. Nämlich 5 und -5.

1. Fall

$x + 3$	$=$	$5$	$- 3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$x$	$=$	$2$

2. Fall

$x + 3$	$=$	$- 5$	$- 3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$x$	$=$	$- 8$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen 2 und -8. Die Lösungsmenge ist dann $L = {- 8; 2}$

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${(x + 8)}^{2} = 36$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

${(x + 8)}^{2}$	$=$	$36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x + 8)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x + 8 \|$	$=$	$6$

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, 6 ergeben. Nämlich 6 und -6.

1. Fall

$x + 8$	$=$	$6$	$- 8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 2$

2. Fall

$x + 8$	$=$	$- 6$	$- 8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 14$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen -2 und -14. Die Lösungsmenge ist dann $L = {- 2; - 14}$

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${(x - 1)}^{2} = 10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

${(x - 1)}^{2}$	$=$	$10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x - 1 \|$	$=$	$\sqrt{10}$

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, $\sqrt{10}$ ergeben. Nämlich $\sqrt{10}$ und $- \sqrt{10}$ .

1. Fall

$x - 1$	$=$	$\sqrt{10}$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$1 + \sqrt{10}$

2. Fall

$x - 1$	$=$	$- \sqrt{10}$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$1 - \sqrt{10}$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $1 + \sqrt{10}$ und $1 - \sqrt{10}$ . Die Lösungsmenge ist dann $L = {1 + \sqrt{10}; 1 - \sqrt{10}}$

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