Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_1;x_2$ an, zum Beispiel "4;-1"

$\left(x-2\right)^2=16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle \left(x-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-2\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-2\right\|$	$=$	$\displaystyle 4$

Löse den Betrag auf. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragstrichen stehen, 4 ergeben. Nämlich 4 und -4.

1. Fall

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

2. Fall

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen 6 und -2. Die Lösungsmenge ist dann $L=\{-2;6\}$ .

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$\left(x+3\right)^2=25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+3\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+3\right\|$	$=$	$\displaystyle 5$

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, 5 ergeben. Nämlich 5 und -5.

1. Fall

$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

2. Fall

$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle -3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -8$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen 2 und -8. Die Lösungsmenge ist dann $L=\{-8;2\}$

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$\left(x+8\right)^2=36$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle \left(x+8\right)^2$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+8\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+8\right\|$	$=$	$\displaystyle 6$

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, 6 ergeben. Nämlich 6 und -6.

1. Fall

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

2. Fall

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -14$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen -2 und -14. Die Lösungsmenge ist dann $L=\{-2;-14\}$

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$\left(x-1\right)^2=10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-1\right\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$

Den Betrag auflösen. Dazu die beiden Fälle betrachten. Es gibt zwei Zahlen die, wenn sie in Betragsstrichen stehen, $\sqrt{10}$ ergeben. Nämlich $\sqrt{10}$ und $-\sqrt{10}$ .

1. Fall

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1+\sqrt{10}$

2. Fall

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt{10}$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $1+\sqrt{10}$ und $1-\sqrt{10}$ . Die Lösungsmenge ist dann $L=\{1+\sqrt{10} ; 1-\sqrt{10}\}$

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