Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Der Umfang der Erde

Der griechische Mathematiker Eratosthenes hat vor über 2000 Jahren den Umfang der Erde berechnet.

Dazu brauchte er nur zwei Orte:

Sobald die Sonne genau über dem Brunnen in Assuan stand, wurde in Alexandria vermessen, wie groß der Schatten am Obelisk war.

Wie Eratosthenes werden wir auf diese Weise den Umfang der Erde berechnen.

In Alexandria befindet sich der Obelisk der Kleopatra.

Er ist $20~\text{m}$ hoch und warf einen Schatten von $2{,}5~\text{m}$ .

Berechne den Winkel $\alpha$ in der Spitze des Obelisken. Runde dabei auf zwei Stellen.

Die Strecke von Alexandria nach Assuan wurde von den Soldaten des Pharaos abmarschiert, um sie zu messen: $787{,}5~\text{km}$

Diese Strecke steht zum Erdumfang im gleichen Verhältnis, wie der Winkel $\alpha$ zum vollen Winkel $360°$ .

Berechne damit den Erdumfang in ganzen $\text{km}$ .

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}5}{20}$
	↓	Verwende $\tan^{-1}()$ auf beiden Seiten
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{2{,}5}{20}\right)$
	$=$	$\displaystyle 7{,}125...°$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$≈$	$\displaystyle 7{,}13°$

$\displaystyle \frac{360°}{7{,}13°}$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Erdumfang}}{787{,}5~\text{km}}$	$\displaystyle \ \cdot787{,}5$
$\displaystyle \frac{360°}{7{,}13°}\cdot787{,}5\$	$=$	$\displaystyle \text{Erdumfang}$
$\displaystyle \text{Erdumfang}$	$=$	$\displaystyle 39761{,}57...\ \text{km}$
	$≈$	$\displaystyle 39762\ \text{km}$