Lösung

In dem Viereck ABCD sind zwei Seiten parallel zueinander

Gegeben sind $A(0|3| 0)$, $B(0|9| 0)$, $C(2|8| 4)$ und $D(2|4| 4)$.

Bei den Punkten $A$ und $B$ und ebenso bei den Punkten $C$ und $D$ stimmen die

$x_1$-Koordinaten und die $x_3$-Koordinaten überein. Somit ist $\overline{AB}\parallel\overline{CD}$.

In dem Viereck ABCD sind zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\8\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$

Da bei beiden Vektoren die Koordinaten jeweils den gleichen Betrag haben, sind die Beträge der Vektoren gleich groß.

$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$

Das Viereck ABCD ist kein Rechteck

Berechne das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$. Prüfe damit, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

$\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\9\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD}\circ\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}=2\cdot 0 +1\cdot 6 +4\cdot 0=6\neq 0$

Die beiden Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander, d.h. das Viereck $ABCD$ ist kein Rechteck.

Ebene in Parameterform

$E:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

Umwandlung in Normalenform

Berechne den Normalenvektor $\vec n$ der Ebene $E$:

$\vec n=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\0\\-12\end{pmatrix}=12\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$

$E:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}=0$

Berechne das Skalarprodukt:

$E:\; 2\cdot x+0\cdot y+(-1)\cdot z-(0+0+0)=0\;\Rightarrow\; 2\cdot x- z=0$

Das Viereck liegt in der Ebene $2\cdot x-z=0$.

Winkel zwischen der xy-Ebene und der Ebene E

Der Normalenvektor der xy-Ebene ist $\vec n_{xy}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und der Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\vec n_{E}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$.

Dann folgt für den Winkel zwischen zwei Ebenen:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_{E}\circ \vec n_{xy}|}{|\vec n_{E}|\cdot |\vec n_{xy}}=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}\cdot 1}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{5}}$

$\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx63{,}4^\circ$

Der Winkel zwischen der xy-Ebene und der Ebene $E$ beträgt rund $63{,}4^\circ$.

Lösung

Geraden $g_{t}$, die senkrecht zu der Ebene $E$ liegen und durch die Punkte $S_{t}$ verlaufen

Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\vec n_{E}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;$$g_t:\;\vec x=\overrightarrow{OS_{t}}+r \cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}0\\6\\t\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$

Werte von $t$, für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_t$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $ABCD$ liegt

$g_t\cap E$:

Eingesetzt in $g_t$:

$\overrightarrow{OS_{t}}=\begin{pmatrix}0\\6\\t\end{pmatrix}+\frac{1}{5}t \cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}t\\6\\t-\frac{1}{5}t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}t\\6\\\frac{4}{5}t\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;S_t(\frac{2}{5}t|6|\frac{4}{5}t)$

Die x-Koordinate des Rechtecks läuft von $0$ bis $2$.

Demnach muss für die x-Koordinaten der Schnittpunkte gelten:

$0<\frac{2}{5}t<2$ oder $0<t<5$.

Gilt $0<t<5$, dann liegt der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_t$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $ABCD$.

Anmerkung: Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Die dient nur zur Veranschaulichung.

Dargestellt ist hier das Viereck $ABCD$, die Ebene $E$, der Punkt $S_5$ und die zu $E$ senkrechte Gerade $g_5$.

Die obere Kante des Rechtecks wird von der Gerade $g_5$ in der Mitte geschnitten (Punkt $N$).

In diesem Fall liegt der Schnittpunkt der Geraden $g_5$ und der Ebene $E$ nicht im Inneren des Vierecks $ABCD$. Erst, wenn $0<t<5$ ist, wird das Viereck im Innern geschnitten.

Art des Vierecks $A B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime}$

Es handelt sich um ein Rechteck.

Begründung

Aus Gleichung $\mathrm{II}\:\; \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C_{t}^{\prime}}=0$ folgt, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Weiterhin ist das Viereck $ABCD$ symmetrisch zur Ebene $E_1:\; y=6$.

Der Punkt $S_t$ liegt ebenfalls in der Ebene $E_1$. Aus Symmetriegründen liegt der Punkt $D_t'$ symmetrisch zu $C_t'$ (bezüglich der Ebene $E_1$).

Ebenso liegt der Punkt $A$ symmetrisch zum Punkt $B$. Dann steht auch $\overline{AD_t'}$ senkrecht zu $\overline{AB}$ und es ist $\overline{C_t'D_t'}$ parallel zu $\overline{AB}$.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Die dient nur zur Veranschaulichung.

Der eingezeichnete Winkel im Rechteck $A B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime}$ ist ein rechter Winkel.

Richtiger Graph

Der Graph $G_2$ gehört zu dem Pyramidenvolumen $A B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime} S_{t}$ in Abhängigkeit von $t$.

Begründung

Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$.

In diesem Fall ist das Pyramidenvolumen $V(t)=\dfrac{1}{3}\cdot G(t)\cdot t$ für $t>4$.

Es besteht folgender Zusammenhang:

Nähert sich $t$ dem Wert $4$, wird $G(t)$ beliebig groß, während die Höhe größer als $4$ ist. $\Rightarrow\; V\mapsto \infty$

Für $t\mapsto \infty$ wird die Höhe beliebig groß, während $G(t)$ immer kleiner wird und sich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Eckpunkten $A, B, (2|8|0)$ und $(2|4|0)$ nähert.$\Rightarrow\; V\mapsto \infty$

Es passt also nur Graph $G_2$.