Aufgaben zur Normalverteilung - lernen mit Serlo!

10% der Produktion einer Maschine kann nicht weiterverkauft werden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Lieferung von 1000 Stücken nicht mehr als 100 Stücke Ausschuss?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Ausschussrate einer Lieferung von 1000 Stück um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

$\displaystyle P(X\le100)$	$≈$	$\displaystyle \Phi(\frac{100-1000\cdot0{,}1+0{,}5}{\sqrt{1000\cdot0{,}1\cdot0{,}9}})$
	$=$	$\displaystyle \Phi(0{,}05)$
	↓	Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}51994$
	$≈$	$\displaystyle 52\%$

$\displaystyle P(\|X-\mu\|\le\sigma)$	$=$	$\displaystyle P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)$
	↓	Mit der Formel für die Normalverteilung gilt.
	$≈$	$\displaystyle \Phi(\frac{\mu+\sigma+0{,}5-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{\mu-\sigma-0{,}5-\mu}{\sigma})$
	↓	Vereinfache Merke: $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
	$=$	$\displaystyle \Phi(\frac{\sigma+0{,}5}{\sigma})-\Phi(\frac{-\sigma-0{,}5}{\sigma})$
	$=$	$\displaystyle \Phi(\frac{\sigma+0{,}5}{\sigma})-(1-\Phi(\frac{\sigma+0{,}5}{\sigma}))$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\Phi(\frac{\sigma+0{,}5}{\sigma})-1$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\Phi(\frac{\sigma+0{,}5}{\sigma})-1$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\Phi(\frac{\sqrt{1000\cdot0{,}1\cdot0{,}9}+0{,}5}{\sqrt{1000\cdot0{,}1\cdot0{,}9}})-1$
	↓	Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\Phi(1{,}05)-1$
	$≈$	$\displaystyle 2\cdot0{,}85313-1$
	$≈$	$\displaystyle 70{,}6\%$

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