Wahlteil 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Eine Süßwarenfabrik stellt Pralinen aus Marzipan her.

Die Pralinen haben die Form eines Kegels.

Die Grundfläche hat einen Durchmesser von $2{,}5 \mathrm{~cm}.$

Die Höhe des Kegels beträgt $5 \mathrm{~cm}$ .

Berechne das Volumen einer Praline. (2 BE)

Berechne die Seitenhöhe $s$ des Kegels.

Erstelle eine Skizze zu deiner Rechnung. (3 BE)

Die gesamte Oberfläche der Praline wird mit Kakaopulver bedeckt.

Bestimme diese bedeckte Fläche. (2 BE)

(Wenn du b) nicht gelöst hast, verwende $s=5{,}34 \mathrm{~cm}$ .)

Die Verpackung der Pralinen hat die Form eines Quaders mit einer Länge von $14{,}5~\text{cm}$ , einer Breite von $6{,}6~\text{cm}$ und einer Höhe von $6{,}3~\text{cm}$ .

In einer Verpackung sind 10 Pralinen.

Zeige, dass weniger als $20 \%$ des Volumens der Verpackung mit Pralinen gefüllt ist. (3 BE)

(Wenn du a) nicht gelöst hast, verwende $V_{\text {Praline }}=7{,}94 \mathrm{~cm}^{3}$ .)

Die Süßwarenfirma möchte neue Pralinen auf den Markt bringen, die das gleiche Volumen wie die kegelförmigen Pralinen haben. Die neuen Pralinen sollen die Form einer Kugel haben.

Zeige durch eine Rechnung, dass der Radius der kugelförmigen Praline $1{,}25~\text{cm}$ ist. (2 BE)

Die kugelförmige Praline soll einen $2 \mathrm{~mm}$ dicken Schokoladenüberzug erhalten.
Bestimme den neuen Durchmesser der Praline mit Schokoladenüberzug. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius und Durchmesser
Durchmesser berechnen
Querschnitt Praline
Die Berechnung des neuen Durchmessers wird mithilfe einer Skizze relativ deutlich:
$d_{\text{neu}}=d_{\text{alt}}+2\cdot \color{Green}0{,}2$
$= 2\cdot \color{red}1{,}25\color{black} + 2\cdot \color{green}0{,}2$
$= 2{,}9$
Der neue Durchmesser beträgt 2,9 cm.
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Skizziere den Querschnitt der Praline mit dem Schokoladenüberzug.
Addiere die einzelnen Längen.
Achtung: Schaue dir die Einheiten genau an!
Hier ist ein Querschnitt durch die Mitte der Praline ohne Schokoladenüberzug abgebildet.
Berechne den Maßstab des Querschnitts.
Zeichne in diesem Querschnitt den Schokoladenüberzug maßstabsgerecht ein. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Maßstab bestimmen
Der Radius der Zeichnung beträgt $\color{red}5 \text{cm}$ .
In Wirklichkeit hat der Querschnitt der Praline einen Radius von $\color{green}1{,}25\text{cm}$ .
$\dfrac{\color{red}5}{\color{green}1{,}25}=\dfrac{4}{1}$
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Miss den Radius des Querschnitts
Vergleiche den Radius der Zeichnung mit dem Radius in der Realität.

Berechne das Volumen des Schokoladenüberzugs einer Praline. (3 BE)

Der Kegel und die Kugel haben ohne den Schokoladenüberzug das gleiche Volumen.

Martin wundert sich, dass in diesem Fall auch die Radien von Kugel und Kegel gleich sind. Er vergleicht beide Volumenformeln und sagt: „Die Radien müssen gleich sein, weil $1{,}25 \cdot 4=5$ ist.“

Nimm Stellung zu Martins Aussage. (1 BE)

Vergleiche dazu die Volumenformeln des Kegels und der Kugel.

Schritt 1: Zuerst stellen wir die beiden Volumenformeln gegenüber:

Volumenformel Kugel	Volumenformel Kegel
$V=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r$ $^3$	$V=\color{red}\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r$ $\color{red}^2$ $\color{green}\cdot h$

Schritt 2: Wir formen die Volumenformel der Kugel um:

$\displaystyle V_{\text{Kugel}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
	↓	Bringe die Formel in Form der Volumenformel des Kegels
	$=$	$\displaystyle 4\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\ r$
	↓	Sortiere die Faktoren
	$=$	$\displaystyle \color{red}\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\color{green}\cdot 4\cdot r$

Die roten Faktoren in den Formeln sind bereits gleich.

Schritt 3: Nun betrachten wir die grünen Bestandteile:

Es gilt: $\color{green}4\cdot r_{\text{Kugel}}\color{black}=4\cdot 1{,}25=5=h_{\text{Kegel}}$

Schritt 4: Zuletzt setzen wir alles in eine Gleichung ein:

Aus Schritt 1
	↓
$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r_{\text{Kugel}}^3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{\text{Kegel}}^2\cdot h$
	↓	Aus Schritt 2
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_{\text{Kugel}}^2\cdot \color{green}4\cdot r_{\text{Kugel}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{\text{Kegel}}^2\cdot \color{green}h$
	↓	Aus Schritt 3
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{\text{Kugel}}^2\cdot \color{green}5$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{\text{Kegel}}^2\cdot \color{green}5$	$\displaystyle :(\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 5)$
$\displaystyle r_{\text{Kugel}}^2$	$=$	$\displaystyle r_{\text{Kegel}}^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle r_{\text{Kugel}}$	$=$	$\displaystyle r_{\text{Kegel}}$

Martin hat recht.

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$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
	↓	$G$ ist eine Kreisfläche.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$
	↓	Einsetzen: Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\left(1{,}25\right)^2\cdot5$
	$≈$	$\displaystyle 8{,}18$

$\displaystyle s^2$	$=$	$\displaystyle 5^2+1{,}25_{ }^2$
$\displaystyle s^2$	$=$	$\displaystyle 26{,}5625$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle s$	$≈$	$\displaystyle 5{,}15$

$\displaystyle O_{Kegel}$	$=$	$\displaystyle \text{\color{red}G\color{black}+\color{blue}M}$
	↓	Die Grundfläche dieses Kegels ist ein Kreis
	$=$	$\displaystyle \color{red}{\pi\cdot r^2}\color{black}+\color{blue}\pi\cdot r\cdot s$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot 1{,}25^2+\pi\cdot 1{,}25\cdot 5{,}2$
	$≈$	$\displaystyle 25{,}13$

$\displaystyle \text{V}_{\text{Verpackung}}$	$=$	$\displaystyle l\cdot b\cdot h$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle 14{,}5\cdot6{,}6\cdot6{,}3$
	$=$	$\displaystyle 602{,}91$

$\displaystyle 602{,}91$	$≙$	$\displaystyle 100\%$
$\displaystyle 81{,}8$	$≙$	$\displaystyle x\%$

Aufgabe 5

Volumen berechnen

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Skizze des Kegelquerschnitts

Berechnung der Seitenhöhe s

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Oberfläche berechnen

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Berechne das Gesamtvolumen der 10 Pralinen

Berechne das Volumen der Verpackung

Berechne den prozentualen Anteil

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Wir übernehmen das Volumen aus (a)...

... und stellen damit die Gleichung auf:

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Durchmesser berechnen

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Maßstab bestimmen

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Berechnung des Gesamtvolumens

Berechnung Volumen des Schokoladenüberzugs

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Schritt 1: Zuerst stellen wir die beiden Volumenformeln gegenüber:

Schritt 2: Wir formen die Volumenformel der Kugel um:

Schritt 3: Nun betrachten wir die grünen Bestandteile:

Schritt 4: Zuletzt setzen wir alles in eine Gleichung ein:

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$\displaystyle \color{red}V_{\text{Kugel}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
$\displaystyle \color{red}8{,}18$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot \color{lightblue}r^{\color{black}3}$	$\displaystyle :(\dfrac{4}{3}\cdot\pi)$
	↓	Löse nach dem Radius auf
$\displaystyle r^3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8{,}18}{\frac{4\pi}3}$
$\displaystyle r^3$	$≈$	$\displaystyle 1{,}95$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{1{,}95}$
$\displaystyle r$	$≈$	$\displaystyle 1{,}25$

$\displaystyle V_{\text{Gesamt}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
	↓	Setze den Radius aus Aufgabe e ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 1{,}45^3$
	$≈$	$\displaystyle 12{,}77$

$\displaystyle V_{\text{Überzug}}$	$=$	$\displaystyle V_{\text{Gesamt}}-V_{\text{Kugel}}$
	$=$	$\displaystyle 12{,}77-8{,}18$
	$=$	$\displaystyle 4{,}59$