Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2B

Die Abbildung $1$ zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird $30$ -mal geworfen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl $„4“$ erzielt wird.

Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt mit dem Parameter $p=\frac{1}{3}$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
Begründung, dass $X$ binomialverteilt ist
Bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse.
Bei einem Wurf des Würfels gilt:
$P(4)=\dfrac{\text{Anzahl der Flächen "4"}}{\text{Anzahl aller Flächen}}=\dfrac26=\dfrac13$
Das Zufallsexperiment wird $n=30$ mal hintereinander durchgeführt. Da die Wahrscheinlichkeit $p$ bei jedem Wurf gleich ist, ist das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette der Länge $n=30$ .
$X$ zählt die Anzahl, wie oft "4" geworfen wird und ist damit binomialverteilt.
Das Ergebnis eines Wurfs verändert die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „ $4$ “
im nächsten Wurf nicht.
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Argumentiere, dass das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $p$ bei einem Wurf.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl $„4“$ häufiger erzielt wird als die Zahl „ $2$ “. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass "4" häufiger geworfen wird
Die Wahrscheinlichkeit für $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=30$ und $p=\frac13$ . Die "4" wird häufiger geworfen, wenn sie 16 mal oder öfter vorkommt. Wir berechnen $P(X\ge16)$ :
$\displaystyle P(X\ge16)$ $=$ $\displaystyle 1-P(X\le15)$
↓
BinomCdf mit dem Taschenrechner anwenden
$=$ $\displaystyle 0{,}0188$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die 4 häufiger geworfen wird, beträgt etwa $2 \;\%$ .
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Berechne die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 16)$ .
Bestimmen Sie das kleinstmögliche zum Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Anzahl der Würfe, in denen eine $„4“$ erzielt wird, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80 \%$ liegt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Intervall um den Erwartungswert
Der Erwartungswert von $X$ beträgt: $\mu=n\cdot p=30\cdot \frac13=10$
Überprüfe, indem du die Wahrscheinlichkeit $P(k_1\le X\le k_2)$ mit BinomCDF auf dem Taschenrechner berechnest:
Intervall
Wahrscheinlichkeit
$9\le X\le 11$
0,4378
$8\le X\le 12$
0,6672
$7\le X\le 13$
0,8264
$7\le X\le 13$ ist das kleinstmögliche Intervall, bei dem die Wahrscheinlichkeit mindestens $80\;\%$ beträgt.
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Bestimme ein Intervall, welches symmetrisch um den Erwartungswert liegt.
Berechne dazu den Erwartungswert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit und überprüfe, ob sie mindestens 80% beträgt.
Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}29 \\ 8\end{array}\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{8} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{21} \cdot \frac{1}{3}$ berechnet werden kann. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
Ereignis im Sachzusammenhang
Der linke Teil des Terms beschreibt die Wahrscheinlichkeit, aus 29 Würfen 8 mal die "4" zu werfen. Denn es ist $n=29$ , $p=\dfrac13$ und $k=8$ .
Diese Wahrscheinlichkeit wird multipliziert mit $\frac13$ , also der Wahrscheinlichkeit eine weitere "4" zu werfen, beispielsweise im 30. Wurf.
Das Ereignis könnte also sein: In 29 Würfen wird 8 mal die "4" geworfen und im 30. Wurf die "4".
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Bestimme den Parameter $k$ aus dem Term.
Wahrscheinlichkeiten, die miteinander multipliziert werden, beschreiben hintereinander verknüpfte Ereignisse.
Bei einem Spiel mit diesem Würfel werfen zwei Personen abwechselnd. Das Spiel ist beendet, wenn eine Person eine andere Zahl würfelt als die andere Person direkt vorher.
Es gewinnt die Person, die in ihrem letzten Wurf die größere Zahl hat.
Eine der beiden Personen beginnt das Spiel.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person verliert und der Würfel insgesamt höchstens viermal geworfen wird. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wahrscheinlichkeit, dass die Person verliert
Es gibt drei Verläufe, bei denen die erste Person (Person A) verliert:
Beim Verlauf "2-4" verliert Person A mit der Wahrscheinlichkeit:
Beim Verlauf "2-2-2-4" verliert Person A mit der Wahrscheinlichkeit:
Beim Verlauf "4-4-2" verliert Person A mit der Wahrscheinlichkeit:
Insgesamt verliert Person A also mit: $P=\dfrac29+\dfrac{8}{81}+\dfrac{2}{27}=\dfrac{32}{81}$
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Bestimme die drei möglichen Spielverläufe, bei denen die Person verliert.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten jedes Verlaufs und addiert die drei Werte.
Abbildung 2
Die Abbildung $2$ zeigt das Netz eines weiteren Würfels.
Der Würfel wird $7500$ -mal geworfen.
Bei den ersten $1500$ Würfen wird $285$ -mal die Zahl $„6“$ erzielt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens $17 \%$ der insgesamt $7500$ Würfe die Zahl $„6“$ erzielt wird. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Parameter bestimmen
In diesem Zufallsexperiment wird der Würfel noch $n=6000$ mal geworfen. Eine "6" wird geworfen, mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac16$ .
Wahrscheinlichkeit berechnen
"Höchstens $17\;\%$ " der 7500 Würfe entsprechen höchstens 1275-mal "6".
Davon wurden 285 bereits geworfen, sodass höchstens 990-mal "6" geworfen werden darf.
Wir berechnen: $P(X\le990)=\text{BinomCDF}_{6000,\frac16}(990)\approx 37~\%$
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Bestimme die Parameter dieses neuen Zufallsexperiments: $n,p$