Abiturprüfungen Mathe gA mit Lösungen

Aufgabe 1A

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $q$ mit $q(x)=e^{-x}$ . Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt:

$q^{\prime}(x)=-q(x)$

Skizzieren Sie den Graphen von $q^{\prime}$ in Abbildung 1.
Beschreiben Sie, wie der Graph von $q^{\prime}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
Skizze des Graphen von q' in Abbildung 1
Funktion q und q'
Beschreibung, wie der Graph von q' aus dem Graphen von q erzeugt werden kann
Der Graph von $q'$ entsteht aus dem Graphen von $q$ durch Spiegelung an der x-Achse.
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Spiegele $q$ an der x-Achse.
Zeigen Sie, dass $t$ mit $t(x)=-x+1$ eine Tangente an den Graphen von $q$ an der Stelle 0 ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Nachweis der Tangente
Es ist $q(0)=e^{-0}=1$ und $t(0)=0+1=1\;\Rightarrow\;q(0)=t(0)$ .
Weiter sind die Ableitungen an der Stelle $x=0$ gleich groß:
$g'(0)=-e^{-0}=-1$ und $t'(0)=-1$
Damit sind die Bedingungen erfüllt, dass $t$ eine Tangente an den Graphen von $q$ an der Stelle $0$ ist.
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Prüfe, ob die Funktionswerte und die 1. Ableitung an der Stelle $x=0$ für $q$ und $t$ übereinstimmen.
Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{b}(q(x)-t(x)) d x=0{,}1$ an.
Geben Sie den Wert von $b$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Geometrische Bedeutung der Gleichung
Der eingeschlossene Flächeninhalt zwischen den Graphen von $t$ und $q$ und der Geraden $x=b$ hat den Wert $0{,}1\; \text{FE}$ .
Wert von b
$\displaystyle\int_{0}^{b}(q(x)-t(x)) \;dx=0{,}1\;\Rightarrow\;\displaystyle\int_{0}^{b}(e^{-x}+x-1) \;dx=0{,}1$
Für diese Gleichung liefert der GTR-Rechner den Wert $b\approx0{,}9050949223$ .
Der gesuchte Wert von $b$ ist $b\approx0{,}9$ .
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Teil 1
Der Flächeninhalt zwischen den Graphen $t$ und $q$ in den Grenzen von $0$ bis $b$ wird berechnet und hat einen bestimmten Wert.
Teil 2
Berechne das Integral.
Forme die Gleichung um, um $b$ zu berechnen.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot e^{-x}$ .
Weiterhin gilt: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot e^{-x}$
Berechnen Sie den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ . (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Extrempunkte des Graphen von h
Definiere die Funktion $h(x)=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot e^{-x}$ .
Definiere die 1. Ableitung $h'(x)$ und löse die Gleichung $h'(x)=0$ .
Man erhält die beiden Lösungen $x=0$ oder $x=3$
An den Stellen $x=0$ und $x=3$ liegen Extrempunkte vor.
y-Koordinaten der Punkte
Die Funktionswerte zu den beiden Extremstellen sind:
$h(0)=\left(0^{2}-0-1\right) \cdot e^{-0}=-1$ und $h(3)\approx0{,}248935...\;\Rightarrow\;h(3)\approx0{,}25$
Abstand zwischen den Punkten
Dann gilt für den Abstand der beiden Punkte:
Der Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ beträgt rund $3{,}25 \;\text{LE}$
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Bestimme die Extremstellen aus der Gleichung $h'(x)=0$ .
Berechne zu den beiden erhaltenen Extremstellen die zugehörenden Funktionswerte.
Für den Abstand zweier Punkte gilt: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Der Graph von $h$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche ein. Die Gerade $g$ mit $g(x)=k \cdot x-1$ teilt die Fläche in zwei gleich große Teilflächen. Die Abbildung 2 veranschaulicht die Situation.
Bestimmen Sie den Wert für $k$ . (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Wert für k
Die obige Abbildung verdeutlicht noch mal die Aufgabenstellung.
Nullstellen berechnen
Benötigt werden die eingezeichneten Nullstellen $x_1, x_2$ und $x_3$ :
Setze $h(x)=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot e^{-x}=0$
Da die e-Funktion immer ungleich null ist, muss nur die Gleichung $x^2-x-1=0$ gelöst werden.
Der GTR-Rechner liefert die Lösungen:
$x_1=-0{,}618033...\;\Rightarrow\;x_1\approx-0{,}62$ und $x_2=1{,}618033...\;\Rightarrow\;x_2\approx1{,}62$
Die dritte Nullstelle liefert die Gleichung $g(x)=0$ :
$0=k\cdot x-1\;\Rightarrow\;x_3=\dfrac{1}{k}$
Gleichsetzen der Flächeninhalte
Der Flächeninhalt des $\textcolor{ff6600}{ \text{orangefarbigen } }$ Dreiecks, das $g$ mit den Koordinatenachsen einschließt, ist:
Die Hälfte der Gesamtfläche ist in der obigen Abbildung gleich der $\textcolor{009999}{ \text{türkisfarbigen }}$ Fläche plus der $\textcolor{ff6600}{ \text{orangefarbigen } }$ Fläche. Alle Flächen liegen unterhalb der x-Achse, deshalb muss die Dreiecksfläche negativ angesetzt werden.
Es gilt: $0{,}5\cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}h(x)\;dx=\textcolor{009999}{\displaystyle\int_{x_1}^{0}h(x)\;dx}-\textcolor{ff6600}{ \dfrac{1}{2k}}$
Der GTR -Rechner liefert für die Gleichung den Wert $k\approx 2{,}487575...$ .
Für $k\approx2{,}49$ wird die Fläche in zwei gleich große Teilflächen geteilt.
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Berechne die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ der Funktion $h$ und die Nullstelle $x_3$ der Funktion $g$ .
Da alle Flächen unterhalb der x-Achse liegen, muss die Dreiecksfläche negativ angesetzt werden.
Löse die Gleichung $0{,}5\cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}h(x)\;dx=\displaystyle\int_{x_1}^{0}h(x)\;dx- \dfrac{1}{2k}$
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit
$w(x)=4 \cdot\left(x^{2}-x-1\right) \cdot e^{-x}+4$ beschreibt für $x \geq 0$ die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde $\left(\frac{m^{3}}{s}\right)$ . Abbildung 3 zeigt den Graphen von $w.$
Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Momentane Durchflussrate zum Zeitpunkt, der stärksten Zunahme
Bestimme mit dem GTR-Rechner die beiden Wendestellen der Funktion $w$ .
Lasse Dir den Graphen der 2. Ableitung von $w$ anzeigen und bestimme dann die Nullstellen.
Man erhält die Lösungen $x_1\approx0{,}697$ und $x_2\approx4{,}303$ .
Bei $x_1$ ist die Steigung von $w$ (gemäß der Abbildung 3) positiv, d.h. hier findet die stärkste Zunahme statt.
Bei $x_2$ ist die Steigung von $w$ (gemäß der Abbildung 3) negativ, d.h. hier findet die stärkste Abnahme statt.
Im weiteren Kurvenverlauf ist kein weiterer Wendepunkt zu finden.
Berechne $w(4{,}303)\approx4{,}72$ .
Die momentane Durchflussrate beträgt nach rund $4{,}3\;\text{s}$ etwa $4{,}7 \;\frac{m^{3}}{s}$ .
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Berechne mit dem GTR-Rechner die beiden Wendestellen von $w$ .
Entscheide anhand der Abbildung 3, wo die stärkste Abnahme liegen muss.
Berechne für diese Wendestelle den Funktionswert.
Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Es gilt:
Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{~s}}$ .
Beschreiben Sie die graphische Bedeutung der obigen Aussage und veranschaulichen
Sie geeignete Flächen in der Abbildung 3. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Lösung
Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{~s}}$ .
Graphische Bedeutung der Aussage
Die Fläche, die der Graph von $w$ mit der x-Achse und mit der Geraden $x=10$ einschließt, ist etwa so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, das die Gerade mit der Gleichung $y=4$ mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=0$ und $x=10$ begrenzt.
Veranschaulichung der Flächen in der Abbildung $3$
Veranschaulichung
Die $\textcolor{009999}{\text{türkisfarbige}}$ Fläche ist die Fläche zwischen dem Graphen von $w$ und der x-Achse für $0\leq x\leq 10$ .
Die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige} }$ Fläche ist das Rechteck mit den Seitenlängen $10$ und $4$ .
Anmerkung:
Die mittlere Durchflussrate im Zeitraum $0\leq x\leq 10$ (Sekunden) wird mit dem Integral $\dfrac{1}{10-0}\displaystyle\int_0^{10}w(x)\;dx \approx4$ berechnet.
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Vergleiche den Flächeninhalt, die der Graph von $w$ mit der x-Achse für $0\leq x\leq 10$ einschließt, mit dem Flächeninhalt eines Rechtecks, dessen eine Seite den Wert $4$ hat.
Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1|w(1))$ wird mit $l$ bezeichnet.
Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang: (3 BE)
Für alle Werte von $x$ mit $1 \leq x \leq 1{,}4$ gilt $\dfrac{l(x)-w(x)}{w(x)}<5 \%$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Interpretation im Sachzusammenhang:
Für alle Werte von $x$ mit $1 \leq x \leq 1{,}4$ gilt $\dfrac{l(x)-w(x)}{w(x)}<5 \%$ .
Für den Zeitraum $1 \leq x \leq 1{,}4$ (Sekunden) beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate $w$ mit einer relativen Abweichung von weniger als $5\;\%$ .
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Untersuche den Ausdruck $\frac{l(x)-w(x)}{w(x)}$ . Was besagt dieser Ausdruck?

2

Aufgabe 1B

Die nebenstehende Abbildung zeigt schematisch die Seitenansicht einer Wasserrutschbahn, die aus einem Startbogen, einem Mittelabschnitt und einem

Auslaufbogen zusammengesetzt ist. Die einzelnen Abschnitte werden durch Funktionen beschrieben. Die Funktionen stimmen in den jeweiligen Übergängen in Funktionswerten und Werten der Ableitung überein. Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt $C$ eine waagrechte Tangente. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$ -Achse beschreibt die Horizontale.

Berechnen Sie eine Gleichung der Gerade, die den Mittelabschnitt beschreibt.
Berechnen Sie die Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der
Horizontalen. $[$ Zur Kontrolle: $y=-\frac{3}{2} x+24$ $]$ (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B
Verwende die Zwei-Punkteform der Geradengleichung für $A(4|18)$ und $B(12|6)$ :
$y=\dfrac{6-18}{12-4}\cdot(x-4)+18=-\dfrac{12}{8}\cdot(x-4)+18=-\dfrac{3}{2}\cdot x+24$
Die Gleichung der Geraden, die den Mittelabschnitt beschreibt, lautet: $y=-\dfrac{3}{2}\cdot x+24$ .
Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen
Es ist $\tan\varphi=m\;\Rightarrow\;\varphi=\tan^{-1}\left(-\dfrac{3}{2}\right)\approx-56{,}3^\circ$
Die Größe des gesuchten Winkels beträgt rund $56^\circ$ .
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Teil 1
Verwende die Zwei-Punkteform der Geradengleichung für $A(4|18)$ und $B(12|6)$ .
Teil 2
Es ist $\tan\varphi=m$ .
Der Auslaufbogen wird mithilfe einer quadratischen Funktion $f$ beschrieben.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $f$ . $[$ Zur Kontrolle: $f(x)=\frac{3}{32} x^{2}-\frac{15}{4} x+\frac{75}{2}$ $]$ (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Aufstellen des LGS
Ansatz:
$f(x)=ax^2+bx+c\;\Rightarrow\;f'(x)=2ax+b$
Erstelle mit den Bedingungen $f(12)=6,\; f(20)=0$ und $f'(20)=0$ ein lineares Gleichungssystem. (Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt $C$ eine waagerechte Tangente.) :
$f(12)=6\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 12^2+b\cdot 12+c\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 144+b\cdot 12+c$
$f(20)=0\;\Rightarrow\;\mathrm{(II)}\;\;0=a\cdot 20^2+b\cdot 20+c\;\Rightarrow\;\mathrm{(II)}\;\;0=a\cdot 400+b\cdot 20+c$
$f'(20)=0\;\Rightarrow\;\mathrm{(III)}\;0=2a\cdot20+b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\mathrm{(III)}\;\;0=a\cdot40+b$
Der GTR-Rechner liefert als Lösung:
$a=\dfrac{3}{32}, b=-\dfrac{15}{4}$ und $c=\dfrac{75}{2}$
Die gesuchte quadratische Funktion hat die Gleichung:

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Erstelle, mit den Bedingungen $f(12)=6,\; f(20)=0$ und $f'(20)=0$ ein lineares Gleichungssystem für die quadratische Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ .
Die Seitenfläche unterhalb der Wasserrutschbahn wird im Bereich $4 \leq x \leq 20$ verkleidet.
Stellen Sie die entsprechende Fläche in der Abbildung grafisch dar.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Graphische Darstellung
Im Bereich $4 \leq x \leq 20$ ist die Fläche orange gekennzeichnet.
Waserrutsche
Flächeninhalt der Seitenfläche
Die markierte Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen:
$A_{\text{ges}}=96+16=112$
Der Flächeninhalt der Seitenfläche beträgt $112\;\text{m}^2$ .
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Teil 1
Fläche im Bereich $4 \leq x \leq 20$ kennzeichnen.
Teil 2
Die Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Berechne jeweils den Flächeninhalt.
Der Startbogen wird mithilfe eines Kreises beschrieben. Er wird durch mehrere Streben gleicher Länge gestützt; diese gehen alle vom selben Punkt aus, der auf der $y$ -Achse liegt. Eine der Streben stößt direkt am Übergang zwischen Startbogen und Mittelabschnitt senkrecht auf die Rutschbahn.
Weisen Sie nach, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises die Koordinaten $\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)$ hat.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
Aufstellen der Normalengleichung
Erstelle die Gleichung der Normalen im Punkt $A(4|18)$ an der Geraden $y=-\frac{3}{2} x+24$ .
Die Normale steht senkrecht auf der Geraden, d.h. $m_1\cdot m_2=-1$ .
Eingesetzt in die Formel für die Normale:
Die Normalengleichung lautet also $n(x)=\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{46}{3}$ .
Mittelpunkt M hat die Koordinaten $\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)$
$n(0)=\dfrac{46}{3}$
Die Normale schneidet die y-Achse im Punkt $M(0|\frac{46}{3})$ .
Die folgende Abbildung ist nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Eingezeichnete Normale
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Erstelle die Gleichung der Normalen im Punkt $A$ an der Geraden $y=-\frac{3}{2} x+24$ .
Bestimme den Schnittpunkt $M$ der Normalen mit der y-Achse.
Berechnen Sie den Radius des Kreises. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius und Durchmesser
Radius des Kreises
Die Entfernung der beiden Punkte $M(0|\frac{46}{3})$ und $A(4|18)$ ist der Radius des Kreises:
$r=d_{AM}=\sqrt{(4-0)^2+\left(18-\frac{46}{3}\right)^2}\approx4{,}8$
Der Radius des Kreises beträgt rund $4{,}8\;\text{m}$ .
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Die Entfernung der beiden Punkte $M$ und $A$ ist der Radius des Kreises.
Die nebenstehende Abbildung zeigt die vollständige schematische Seitenansicht einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf wird mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5{,}2$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$ -Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 0,2 Meter oberhalb der Wasseroberfläche.
Geben Sie die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an. Ermitteln Sie die Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an
Berechne $h(0)$ :
$h(0)=5{,}2$
Die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche beträgt $5{,}2\;\text{m}.$
Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn
Setze $h(x)=0{,}2$ :
$\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5{,}2=0{,}2$
Für $x>$ 0 liefert der GTR-Rechner die Lösung $x=10$ .
Die Rutschbahn endet $0{,}2$ Meter oberhalb der Wasseroberfläche.
Deshalb hat der Endpunkt der Rutschbahn die Koordinaten $(10|0{,}2)$ .
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Teil 1
Berechne $h(0)$ .
Teil 2
Setze $h(x)=0{,}2$ und löse die Gleichung.
Die Rutschbahn weist in mehreren Punkten ihre größte Neigung gegenüber der Horizontalen auf.
Bestimmen Sie diese Neigung in Prozent. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Lass Dir den Graphen von $h'(x)$ anzeigen
Der Graph hat zwei Tiefpunkte an den Stellen $x_1\approx1{,}464466...$ und $x_2\approx8{,}53553...$ .
Der Graph hat an diesen beiden Stellen die größte Neigung.
Größte Neigung in Prozent
Für die Steigung an den Stellen $x_1$ und $x_2$ gilt dann:
$h'(1{,}46)=h'(8{,}54)=-0{,}9375$
Es ergibt sich eine Neigung von etwa $94\;\%$ .
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Lass Dir den Graphen von $h'(x)$ anzeigen. Der Graph hat zwei Tiefpunkte.
Der Graph hat an diesen beiden Stellen die größte Neigung.
Gib die größte Neigung in Prozent an.
Der Graph von $h$ enthält Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur
$x$ -Achse verläuft.
Weisen Sie nach, dass diese Punkte alle auf einer Geraden liegen. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Berechnung der Punkte bzw. Stellen
Berechne $h'(x)=0$ :
Du hast die drei Lösungen $x_1=0, x_2=5$ und $x_3=10$ erhalten.
Geradengleichung durch die Punkte
Betrachte nun die Punkte $(0|h(0))$ und $(5|h(5))$ auf dem Graphen und berechne die Geradengleichung $g(x)$ durch diese beiden Punkte.
$(0|h(0))\;\Rightarrow\;(0|5{,}2)$ und $(5|h(5))\;\Rightarrow\;(5|2{,}7)$
$g(x)=\dfrac{2{,}7-5{,}2}{5-0}\cdot (x-0)+5{,}2\;\Rightarrow\;g(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x+5{,}2$
Probe für den dritten Punkt
Für die dritte Lösung $x_3=10$ ergibt sich der Punkt $(10|h(10))$ .
Aus Aufgabe f) ist bekannt, dass der Punkt $(10|0{,}2)$ auf $h$ liegt.
Prüfe, ob der Punkt $(10|0{,}2)$ auch auf $g$ liegt:
$g(10)=-\dfrac{1}{2}\cdot 10+5{,}2=0{,}2\;\Rightarrow\;$ der Punkt $(10|0{,}2)$ liegt auch auf $g$ .
Der Punkt $(10|h(10))=(10|0{,}2)$ liegt also auch auf der Geraden $g$ .
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Berechne $h'(x)=0$ .
Du erhältst drei Lösungen, d.h. drei Punkte auf $h$ .
Bestimme die Geradengleichung durch zwei dieser Punkte.
Prüfe, ob der dritte Punkt ebenfalls auf der Geraden liegt.

3

Aufgabe 1C

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x$ .

Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte. Einer davon hat die $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ .

Der Graph von $f$ hat den Wendepunkt $(0|0).$

Begründen Sie, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
Begründung, dass $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist
Der Funktionsterm von $f$ (ganzrational) enthält nur ungerade Exponenten, d.h. der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $(0|0)$ und damit auch zu seinem Wendepunkt.
Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$f(x)=0$
Der GTR-Rechner liefert die Lösungen $x=-6$ , $x=0$ und $x=6$ .
Damit erhält man die Punkte $(-6|0), (0|0)$ und $(6|0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Setze $x=0$ in $f(x)$ ein $\;\Rightarrow\;(0|0)$
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Betrachte die Exponenten von $f$ und schließe auf die Symmetrieeigenschaft.
Für die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
x-Achse: setze $f(x)=0$ ;
y-Achse: setze $x=0$ in $f(x)$ ein.
Es gibt Punkte des Graphen von $f$ , in denen die Tangente an den Graphen von $f$ parallel zur Geraden durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f$ ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Steigung der Geraden
Bestimme die Steigung der Geraden durch die beiden Extrempunkte $E_1(-\sqrt{12}|f(-\sqrt{12}))$ und $E_2(\sqrt{12}|f(\sqrt{12}))$ .
Steigung der Geraden: $m=\dfrac{f(\sqrt{12})-f(-\sqrt{12})}{\sqrt{12}-(-\sqrt{12})}$
wegen Punktsymmetrie $\;\Rightarrow\;m=\dfrac{2\cdot f(\sqrt{12})}{2\sqrt{12}}=\dfrac{f(\sqrt{12})}{\sqrt{12}}$
Mit $f(\sqrt{12})\approx-3{,}079$ $\Rightarrow\;m\approx\dfrac{-3{,}079}{\sqrt{12}}\approx-0{,}89$
Demnach muss $f'(x)\approx-0{,}89$ sein.
Koordinaten der Extrempunkte
Die Gleichung $f'(x)\approx-0{,}89$ hat die Lösungen $x\approx-2$ oder $x\approx2$ .
Berechne $f(2)\approx-2{,}4$ .
Wegen der Punktsymmetrie ist dann $f(-2)\approx2{,}4$ und man erhält die Punkte $(-2|2{,}4)$ und $(2|-2{,}4)$ .
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Bestimme die Steigung der Geraden durch die beiden Extrempunkte.
Die Steigung dieser Geraden muss gleich $f'(x)$ sein.
Bestimmen Sie alle Werte für $d$ , sodass der Graph zu $f(x)+d$ genau zwei Nullstellen besitzt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Werte für $d$ , sodass der Graph zu $f(x)+d$ genau zwei Nullstellen besitzt
Der Graph von $f$ muss parallel zur y-Achse verschoben werden, sodass aus einem Extrempunkt eine Nullstelle wird.
Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:
$d_1=f(-\sqrt{12})\approx3{,}079$ und $d_2=f(\sqrt{12})\approx-3{,}079$
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Der Graph von $f$ muss parallel zur y-Achse verschoben werden, sodass aus einem Extrempunkt eine Nullstelle wird.
Die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(6 \mid f(6))$ hat die Gleichung
$t(x)=\frac{8}{3} x-16$ . Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Schnittpunkte zwischen den Graphen von $f$ und von $t$
Der GTR-Rechner liefert die Schnittpunkte $(6|0)$ und $(-12|-48)$ .
Demnach gilt für die gesuchte Fläche:
Die folgende Abbildung ist nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Skizze
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Bestimme die x-Koordinaten der Schnittpunkte $x_1$ , $x_2$ zwischen den Graphen von $f$ und von $t$ .
Berechne dann das Integral $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}(f(x)-t(x))\;dx$
Der Graph von $f$ soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:
- Spiegeln an der $x$ -Achse
- Verschieben um 6 in positive $x$ -Richtung
- Verschieben um 14 in positive $y$ -Richtung
Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, nachdem die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt wurden.
Begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Hilfestellung
Überlege Dir an einem einfachen Beispiel z.B. $f(x)=x^2$ wie sich die insgesamt 6 verschieden Reihenfolgen auswirken.
Lösung
Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, nachdem die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt wurden
Bei drei Schritten ergeben sich insgesamt $6$ Möglichkeiten für die Reihenfolge der Schritte.
Dabei entstehen aber nur $2$ verschiedene neue Graphen. An welcher Position in der Reihenfolge der drei Schritte die Verschiebung in x-Richtung steht, hat keinen Einfluss auf die Veränderung des Graphens.
Ausschlaggebend ist die Reihenfolge der beiden anderen Schritte.
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Untersuche, wie viele Reihenfolgen es gibt, diese drei Schritte zu kombinieren.
Skizziere grob, wie die Graphen aussehen, die durch diese Abbildungen verändert werden. Entscheide damit, wie viele der Graphen unterschiedlich sind.
Wird der Graph von $f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit
$g(x)=-\frac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14$ .
Die Abbildung zeigt den Graphen von $g$ .

Die Funktion $g$ beschreibt für $0 \leq x<12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ .
Geben Sie die Bedeutung der Wendestelle von $g$ hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Bedeutung der Wendestelle von $g$ hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an
Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die größte Steigung hat.
Die Wendestelle gibt demnach den Zeitpunkt mit dem größten Anstieg der
Tagesdurchschnittstemperatur an.
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Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die größte Steigung hat.
Welche Aussage über die Wendestelle ist dann möglich?
Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12}$ oder $x=6+\sqrt{12}$
$g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6{,}2$
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an.
Erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Passende Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Tagesdurchschnittstemperatur.
Erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg
In der ersten Zeile wird die 1. Ableitung von $g$ gleich null gesetzt, um mögliche Extremstellen zu finden.
Die beiden möglichen Extremstellen sind $x=6-\sqrt{12}$ oder $x=6+\sqrt{12}$ .
In der zweiten Zeile wird die Differenz der zugehörigen Funktionswerte berechnet.
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Teil 1
Welche Aufgabenstellung passt zu den zwei Rechenzeilen?
Teil 2
Betrachte die erste Zeile und gib an, was dort berechnet wird. Betrachte dann die zweite Zeile und gib an, was dort berechnet wird.
Entscheiden Sie, ob die Funktion $g$ für $x \geq 12$ geeignet ist, den Verlauf der
Tagesdurchschnittstemperatur an dem betrachteten Ort für ein weiteres Jahr zu beschreiben.
Begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
- Die Funktion $g$ ist geeignet.
- Die Funktion $g$ ist nicht geeignet.
Begründung
Die Funktion g ist für $x \geq 12$ nicht geeignet, den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an dem betrachteten Ort für ein weiteres Jahr zu beschreiben.
Begründungen:
Für $x$ gegen unendlich geht $f(x)$ gegen minus unendlich und das entspricht nicht der Realität.
Für einen realistischen Temperaturverlauf sollte die Funktion periodisch sein und das ist $g$ nicht.
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Untersuche, wie sich die Funktion $g$ verhält, wenn $x$ sehr groß wird.

4

Aufgabe 2A

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils $60 \mathrm{~kg}$ an. $96 \%$ aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen. Sie ist binomialverteilt.

Der Großhändler liefert $800$ Säcke aus.
Bestimmen Sie die zu erwartende Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen.
Ermitteln Sie ein $95 \%$ -Prognoseintervall für die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Erwartungswert berechnen
Berechne $\mu$ und $\sigma$ :
Es ist $n=800$ und $p=0{,}96\;\Rightarrow\;\mu=n\cdot p=800\cdot 0{,}96=768$ .
Die zu erwartende Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen, beträgt $768$ .
$95\;\%$ -Prognoseintervall für die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen
Berechne $[\mu-c\cdot\sigma;\mu+c\cdot\sigma]$ .
Zu einem $95\;\%$ -Prognoseintervall gehört $c=1{,}96$ .
Für die linke Grenze gilt:
$768 -1{,}96\cdot\sqrt{800\cdot 0{,}96\cdot0{,}04}\approx 757{,}1$
Für die rechte Grenze gilt:
$768+1{,}96\cdot\sqrt{800\cdot 0{,}96\cdot0{,}04}\approx 778{,}9$
Mit entsprechender Rundung lautet das $95\;\%$ -Prognoseintervall $\large[757; 779]$ .
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Teil 1
Berechne den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ .
Teil 2
Berechne das Prognoseintervall [ $\mu-1{,}96\cdot\sigma;\mu+1{,}96\cdot\sigma]$ .
Mit dem Term $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}800 \\ 32\end{array}\right) \cdot 0{,}04^{32} \cdot 0{,}96^{768}$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses im Sachzusammenhang berechnen.
Geben Sie das Ereignis an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ereignis
Dem Term entnimmt man, dass $p=0{,}04$ ist. Das ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $0{,}96$ , d.h. $p=0{,}04$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, "dass die Säcke den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen".
Die Zahl $32$ sagt dann, dass $32$ Säcke den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen.
Das Ereignis würde z.B. so lauten:
Ereignis
$32$ der $800$ Säcke entsprechen nicht den Qualitätsanforderungen.
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Bestimme ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p=0,04.
Welche Bedeutung hat die Zahl 32?
Ein Kunde prüft die Qualität des Kaffees, bevor er mit dem Großhändler einen Vertrag abschließt. Er untersucht $50$ zufällig ausgewählte Säcke daraufhin, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen.
- Wenn dies bei höchstens zwei Säcken nicht der Fall ist, dann wird der Vertrag abgeschlossen.
- Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen, dann werden in einem zweiten Schritt weitere $25$ zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen $25$ Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen.
Andernfalls kommt der Vertrag nicht zustande.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass der Vertrag abgeschlossen wird
1. Schritt:
Es ist $n=50$ .
Höchstens zwei Säcke dürfen den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen, dann wird der Vertrag abgeschlossen. $\;\Rightarrow\;p=0{,}04$
$P(X\leq2)=\text{binomCdf}(50{,}0.04{,}0,2)\approx0{,}6767$
2. Schritt:
Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen:
Es ist $n=50$ .
$P(X=3)=\text{binomPdf}(50{,}0.04{,}3)\approx0{,}1842$
Dann werden in einem zweiten Schritt weitere $25$ zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen $25$ Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen:
Es ist $n=25$ .
$P(X\leq1)=\text{binomPdf}(25{,}0.04{,}0,1)\approx0{,}7358$
Wahrscheinlichkeit insgesamt
Dann folgt für die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Vertrag abgeschlossen wird:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $81 \;\%$ wird der Vertrag abgeschlossen.
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Berechne für die einzelnen Schritte jeweils die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit im 2. Schritt das Produkt von zwei Wahrscheinlichkeiten.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann die Summe der Wahrscheinlichkeiten in den beiden Schritten.
Weiterhin entsprechen $96 \%$ aller Säcke den Qualitätsanforderungen. Jeder Sack, der den
Qualitätsanforderungen nicht entspricht, weist mindestens einen der beiden folgenden Mängel auf:
$M_{1}$ : „Der Kaffee weist zu viele Verunreinigungen auf.“
$M_{2}$ : „Der Sack enthält weniger als $60$ kg Kaffee.“
Ein Sack wird zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Sack den Mangel $M_{1}$ aufweist, beträgt $1 \%$ .
Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeiten in den Feldern in der unteren Hälfte des Baumdiagramms. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
Das ausgefüllte Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:
Baumdiagramm
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Entnimm die Wahrscheinlichkeit für den Mangel $M_1$ der Aufgabenstellung.
Die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{M_1})$ ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit dazu.
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass $P(\overline{M_1}\cap\overline{M_2})=0{,}96$ ist.
Mit $P(\overline{M_1})$ und $P(\overline{M_1}\cap\overline{M_2})=0{,}96$ kann dann $P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})$ berechnet werden.
Die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{M_1}}({M_2})=1-P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})$ .
Schließlich fehlt noch $P(\overline{M_1}\cap{M_2})$ , die mit den bekannten Werten berechnet wird.
Das Auftreten der beiden Mängel ist stochastisch unabhängig.
Erläutern Sie im Sachkontext die Auswirkungen dieser Eigenschaft auf die Wahrscheinlichkeiten in der oberen Hälfte des Baumdiagramms. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Sachkontext
"Das Auftreten der beiden Mängel ist stochastisch unabhängig."
Das bedeutet: $P_{{M_1}}({M_2})=P_{\overline{M_1}}({M_2})$ , bzw. $P_{{M_1}}(\overline{M_2})=P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})$
Mit anderen Worten:
Die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe des Baumdiagramms sind in der oberen Hälfte mit denen in der unteren Hälfte identisch.
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Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:
$P_{{M_1}}({M_2})=P_{\overline{M_1}}({M_2})$ , bzw. $P_{{M_1}}(\overline{M_2})=P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})$

5

Aufgabe 2B

Die Abbildung $1$ zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird $30$ -mal geworfen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl $„4“$ erzielt wird.

Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt mit dem Parameter $p=\frac{1}{3}$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
Begründung, dass $X$ binomialverteilt ist
Bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse.
Bei einem Wurf des Würfels gilt:
$P(4)=\dfrac{\text{Anzahl der Flächen "4"}}{\text{Anzahl aller Flächen}}=\dfrac26=\dfrac13$
Das Zufallsexperiment wird $n=30$ mal hintereinander durchgeführt. Da die Wahrscheinlichkeit $p$ bei jedem Wurf gleich ist, ist das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette der Länge $n=30$ .
$X$ zählt die Anzahl, wie oft "4" geworfen wird und ist damit binomialverteilt.
Das Ergebnis eines Wurfs verändert die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „ $4$ “
im nächsten Wurf nicht.
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Argumentiere, dass das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $p$ bei einem Wurf.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl $„4“$ häufiger erzielt wird als die Zahl „ $2$ “. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass "4" häufiger geworfen wird
Die Wahrscheinlichkeit für $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=30$ und $p=\frac13$ . Die "4" wird häufiger geworfen, wenn sie 16 mal oder öfter vorkommt. Wir berechnen $P(X\ge16)$ :
$\displaystyle P(X\ge16)$ $=$ $\displaystyle 1-P(X\le15)$
↓
BinomCdf mit dem Taschenrechner anwenden
$=$ $\displaystyle 0{,}0188$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die 4 häufiger geworfen wird, beträgt etwa $2 \;\%$ .
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Berechne die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 16)$ .
Bestimmen Sie das kleinstmögliche zum Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Anzahl der Würfe, in denen eine $„4“$ erzielt wird, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80 \%$ liegt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Intervall um den Erwartungswert
Der Erwartungswert von $X$ beträgt: $\mu=n\cdot p=30\cdot \frac13=10$
Überprüfe, indem du die Wahrscheinlichkeit $P(k_1\le X\le k_2)$ mit BinomCDF auf dem Taschenrechner berechnest:
Intervall
Wahrscheinlichkeit
$9\le X\le 11$
0,4378
$8\le X\le 12$
0,6672
$7\le X\le 13$
0,8264
$7\le X\le 13$ ist das kleinstmögliche Intervall, bei dem die Wahrscheinlichkeit mindestens $80\;\%$ beträgt.
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Bestimme ein Intervall, welches symmetrisch um den Erwartungswert liegt.
Berechne dazu den Erwartungswert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit und überprüfe, ob sie mindestens 80% beträgt.
Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}29 \\ 8\end{array}\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{8} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{21} \cdot \frac{1}{3}$ berechnet werden kann. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
Ereignis im Sachzusammenhang
Der linke Teil des Terms beschreibt die Wahrscheinlichkeit, aus 29 Würfen 8 mal die "4" zu werfen. Denn es ist $n=29$ , $p=\dfrac13$ und $k=8$ .
Diese Wahrscheinlichkeit wird multipliziert mit $\frac13$ , also der Wahrscheinlichkeit eine weitere "4" zu werfen, beispielsweise im 30. Wurf.
Das Ereignis könnte also sein: In 29 Würfen wird 8 mal die "4" geworfen und im 30. Wurf die "4".
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Bestimme den Parameter $k$ aus dem Term.
Wahrscheinlichkeiten, die miteinander multipliziert werden, beschreiben hintereinander verknüpfte Ereignisse.
Bei einem Spiel mit diesem Würfel werfen zwei Personen abwechselnd. Das Spiel ist beendet, wenn eine Person eine andere Zahl würfelt als die andere Person direkt vorher.
Es gewinnt die Person, die in ihrem letzten Wurf die größere Zahl hat.
Eine der beiden Personen beginnt das Spiel.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person verliert und der Würfel insgesamt höchstens viermal geworfen wird. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wahrscheinlichkeit, dass die Person verliert
Es gibt drei Verläufe, bei denen die erste Person (Person A) verliert:
Beim Verlauf "2-4" verliert Person A mit der Wahrscheinlichkeit:
Beim Verlauf "2-2-2-4" verliert Person A mit der Wahrscheinlichkeit:
Beim Verlauf "4-4-2" verliert Person A mit der Wahrscheinlichkeit:
Insgesamt verliert Person A also mit: $P=\dfrac29+\dfrac{8}{81}+\dfrac{2}{27}=\dfrac{32}{81}$
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Bestimme die drei möglichen Spielverläufe, bei denen die Person verliert.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten jedes Verlaufs und addiert die drei Werte.
Die Abbildung $2$ zeigt das Netz eines weiteren Würfels.
Der Würfel wird $7500$ -mal geworfen.
Bei den ersten $1500$ Würfen wird $285$ -mal die Zahl $„6“$ erzielt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens $17 \%$ der insgesamt $7500$ Würfe die Zahl $„6“$ erzielt wird. (4 BE)
Abbildung 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Parameter bestimmen
In diesem Zufallsexperiment wird der Würfel noch $n=6000$ mal geworfen. Eine "6" wird geworfen, mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac16$ .
Wahrscheinlichkeit berechnen
"Höchstens $17\;\%$ " der 7500 Würfe entsprechen höchstens 1275-mal "6".
Davon wurden 285 bereits geworfen, sodass höchstens 990-mal "6" geworfen werden darf.
Wir berechnen: $P(X\le990)=\text{BinomCDF}_{6000,\frac16}(990)\approx 37~\%$
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Bestimme die Parameter dieses neuen Zufallsexperiments: $n,p$

Intervall	Wahrscheinlichkeit
$9\le X\le 11$	0,4378
$8\le X\le 12$	0,6672
$7\le X\le 13$	0,8264

6

Aufgabe 2C

In einem Land arbeiten $25 \%$ der Lehrkräfte an einem Gymnasium. $15 \%$ der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind $72 \%$ der Lehrkräfte weiblich.

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Vierfeldertafel
Wir bezeichnen die Ereignisse:
$G$ : Lehrkraft ist auf dem Gymnasium
$W$ : Lehrkraft ist weiblich
$\overline{G}$ und $\overline{W}$ sind entsprechende Gegenereignisse
Aus der Aufgabenstellung können wir einige Angaben übernehmen:
$W$
$\overline{W}$
$G$
15 %
25 %
$\overline{G}$
72 %
100 %
In den Zeilen und Spalten können wir die Summen bestimmen und den Rest der Werte ermitteln.
$W$
$\overline{W}$
$G$
15 %
10 %
25 %
$\overline{G}$
57 %
18 %
75 %
72 %
28 %
100 %
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Erstelle eine Vierfeldertafel und übernimm die Angaben aus der Aufgabenstellung.
Berechne die fehlenden Werte in den Zeilen und Spalten über die Summe.
Eine zufällig ausgewählte Lehrkraft ist weiblich.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem Gymnasium arbeitet. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (a):
$W$
$\overline{W}$
$G$
15 %
10 %
25 %
$\overline{G}$
57 %
18 %
75 %
72 %
28 %
100 %
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrkraft weiblich ist und am Gymnasium arbeitet, beträgt: $15~\%$
Diese wird ausgewählt unter den Lehrkräften, die weiblich sind: $72~\%$
$\dfrac{15~\%}{72~\%}\approx 20{,}83~\%$
Das ist auch die bedingte Wahrscheinlichkeit des Merkmals "Gymnasium" unter der Bedingung "weiblich": $P_W(G)=\dfrac{P(W\cap G)}{P(W)}=\dfrac{15\%}{72\%}$ .
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Lies die nötigen Werte aus der Vierfeldertafel ab und berechne den Quotient.
$100$ Lehrkräfte werden zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen $100$ Lehrkräften die Anzahl derer, die nicht am Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß ist, wie die Anzahl derer, die am Gymnasium arbeiten. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Parameter bestimmen
Es geht um das Ereignis $\overline{G}$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(\overline{G})=75~\%$ . Bei jeder zufällig ausgewählten Lehrkraft ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht auf dem Gymnasium ist.
Wir wählen $n=100$ zufällige Lehrkräfte aus.
Wir möchten $k\ge80$ Lehrkräfte, die nicht auf dem Gymnasium sind, sodass diese Anzahl viermal so groß ist als $20$ (Lehrkräfte auf dem Gymnasium).
Binomialverteilte Wahrscheinlichkeit berechnen
$X$ beschreibt die Anzahl dieser Lehrkräfte, die nicht auf dem Gymnasium sind und ist binomialverteilt. Wir rechnen:
$P(X≥80)=1−P(X≤79)=1−\text{BinomCDF}_{100;0{,}75}(79)=0{,}1488$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 Lehrkräfte nicht auf dem Gymnasium sind, beträgt etwa 14,9%.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Binomialverteilung.
Bestimme dazu die Parameter $n,p$ und $k$ aus den Angaben.
Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an: (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bedeutung des Terms
Der erste Summand $\binom{100}{75}\cdot {\underbrace{0{,}75}_{P(\overline{G})}} ^{75}\cdot 0{,}25^{25}$ beschreibt die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit, unter 100 zufällig ausgewählten Lehrkräften genau 75 zu finden, die nicht auf dem Gymnasium sind.
Die Summe von $k=75$ bis $k=100$ stellt also das Ereignis dar:
Aus 100 Lehrkräften werden mindestens 75 ausgewählt, die nicht auf dem Gymnasium sind.
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Bestimme, um welches Ereignis es sich handelt und welche Werte für $X$ betrachtet werden.
Im Folgenden wird ein Spiel betrachtet. In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von $2$ Euro. Dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen. Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.
Der Term $8 \cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{2}+2 \cdot 2 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9}+\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{5}{9}\right)^{2}$ gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält.
Interpretieren Sie den zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang. (4 BE)
Ereignis im Sachzusammenhang
Die Wahrscheinlichkeiten $\frac49$ und $\frac59$ deuten darauf hin, dass eine schwarze und eine weiße Kugel gezogen werden.
Da schwarz-weiß, aber auch weiß-schwarz gezogen werden können, werden diese Reihenfolgen mit dem Faktor $2$ berücksichtigt.
Der Spieler erhält nach so einem Zug $2~€$ , daher nochmal ein Faktor $2$ .
Der zweite Summand beschreibt also den Fall im Erwartungswert, wenn unterschiedliche Kugeln gezogen werden.
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Interpretiere die Wahrscheinlichkeiten $\frac49$ und $\frac59$ .
Überlege, wie verschiedene Reihenfolgen hier berücksichtigt werden.

	$W$
$G$	15 %	25 %
$\overline{G}$
	72 %	100 %

	$W$	$\overline{W}$
$G$	15 %	10 %	25 %
$\overline{G}$	57 %	18 %	75 %
	72 %	28 %	100 %

	$W$	$\overline{W}$
$G$	15 %	10 %	25 %
$\overline{G}$	57 %	18 %	75 %
	72 %	28 %	100 %

In einem weiteren Behälter befinden sich ebenfalls weiße und schwarze Kugeln.

Ermitteln Sie, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln in diesem Behälter sein muss, damit das Spiel fair ist. (4 BE)

7

Aufgabe 3A

Ein Anbau eines Gebäudes wird durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0| 0), B(5|0| 0), C(5|4| 0)$ , $D(0|4| 0), E(0|0| 4), F(5|0| 4), G(5|3| 3)$ und $H(0|3| 3)$ beschrieben.

Das Viereck $EFGH$ stellt das Glasdach dar, das

Viereck $A B F E$ eine geschlossene Wand. Die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die $x_{1} x_{2}$ -Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Begründen Sie, dass das Viereck $B C G F$ ein Drachenviereck ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität
Nachweis des Drachenvierecks
Wir berechnen die Längen der Vektoren $\overrightarrow{BF}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{GF}$ und $\overrightarrow{GC}$
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{BF}|=4$
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{BG}|=4$
$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OG}=\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{GF}|=\sqrt{0+9+1}=\sqrt{10}$
$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG}=\begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{GC}|=\sqrt{0+1+9}=\sqrt{10}$
Da die Paare aneinandergrenzenden Seiten jeweils dieselbe Länge haben, handelt es sich um ein Drachenviereck.
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Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{BG}$ und $\overrightarrow{FC}$ senkrecht aufeinander stehen.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{G F}$ und $\overline{G C}$ einschließen. (3 BE)

Die Punkte $A, B$ und $G$ liegen in der Ebene $L$ .
Zeigen Sie, dass $\overrightarrow{G H}$ ein Spannvektor von $L$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform
Ebene aufstellen
Die Ebene enthält die Punkte $A$ , $B$ und $G$ :
$E:~\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AG}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}$
Wir zeigen, dass der Vektor $\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\0\\0\end{pmatrix}$ von der Ebene aufgespannt wird. Hier zeigt sich, dass der zweite Richtungsvektor in der Parameterform, fast identisch mit $\overrightarrow{GH}$ ist.
Für $t=0$ und $s=-1$ wird in der Ebene genau dieser Vektor aufgespannt:
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Bestimme die Parameterform der Ebene L.
Berechne den Vektor $\overrightarrow{G H}$ und bestimme die Parameter der Ebene so, dass dieser aufgespannt wird.
Begründen Sie, dass das Viereck $A B G H$ das Prisma $A B C D E F G H$ in zwei zueinander symmetrische Teilkörper teilt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Begründung
In Teilaufgabe (a) wurde gezeigt, dass die Figur $B C G F$ ein Drachenviereck ist.
Die Strecke $\overline{BG}$ entspricht genau der Symmetrieachse dieser Figur und teilt sie in zwei gleich große Hälften
Der Prisma ist ein gerade Körper, denn die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Das Viereck $A B G H$ teilt den Körper in zwei Hälften, weil es auch senkrecht auf der Grundfläche steht.
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Begründe, dass die Strecke $\overline{BG}$ das Drachenviereck $B C G F$ halbiert.
Verwende, dass dieser Prisma ein gerader Körper ist.
Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{E F}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.
Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit, mit der das Rollo herabgelassen wird, in Zentimeter pro Sekunde. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Geschwindigkeit des Rollos
Die Strecke $\overline{GF}$ , an der der Rollo entlang fährt, hat eine Länge von:
$|\overline{GF}|=\sqrt{10}$ m (aus Teilaufgabe (b))
Die Geschwindigkeit ist damit: $v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{\sqrt{10}~\text{m}\cdot 100~\dfrac{\text{cm}}{\text{m}}}{60~\text{s}}\approx 5{,}3~\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$
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Berechne die Länge der Strecke $\overline{GF}$ .
Berechne das Verhältnis von Strecke und Zeit.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)$ beschrieben werden.
Das vollständig herabgelassene Rollo erzeugt auf der geschlossenen Wand einen Schatten. Dieser soll in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene grafisch dargestellt werden. Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:
Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Lösungsschritts und zeichnen Sie den Schatten in die folgende Abbildung ein. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Beschreibung des Lösungsschrittes
Der Lösungsschritt
$\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}~\text{liefert }~r=3~~\text{und damit }~(3\mid0\mid -3)$
berechnet den Spurpunkt der Gerade, die den Schatten modelliert, in der $x_1x_3$ -Ebene. Der Punkt $(3|0|-3)$ ist damit der Spurpunkt der Gerade.
Skizze des Schattens
Der Spurpunkt kann in der Skizze eingezeichnet werden. Dort trifft der Schatten vom Punkt $H$ ein.
Da das Rollo im Punkt $E$ anfängt, zieht sich der Schatten vom Spurpunkt bis $E$ hoch.
Da das Licht parallel eintrifft, kann der Schatten durch eine Parallele in $x_1$ -Richtung weiter gezeichnet werden.
Der Schatten liegt nicht vollständig auf der Wand $ABEF$ . Er überdeckt nur diesen Teil:
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Die Gerade beschreibt den Schatten ausgehend vom Punkt $H$ .
Beschreibe, welcher Punkt im angegebenen Lösungsschritt berechnet wurde.
Zeichne den Schatten ein.

8

Aufgabe 3B

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit

$A(0|3| 0), B(0|9| 0), C(4|10| 0)$ und $D(4|2| 0)$ sowie der Spitze im Punkt $S(0|6| 8)$ .

$M$ bezeichnet den Mittelpunkt der Kante $\overline{D S}$ und $N$ bezeichnet den Mittelpunkt der Kante $\overline{C S}$ .

Begründen Sie, dass das Dreieck $D C S$ gleichschenklig ist.

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade, auf der die Symmetrieachse des Dreiecks DCS liegt. (6 BE)

Berechnen Sie den von den Kanten $\overline{A B}$ und $\overline{A M}$ eingeschlossenen Winkel. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen

Punkt $M$

Die Mitte der Punkte $S(0|6| 8)$ und $D(4|2| 0)$ ist der Punkt $M(2|4|4)$ . Hier wurde jeweils die Mitte der Koordinaten bestimmt.

Vektoren berechnen

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AM}$ berechnen wir "Spitze minus Fuß":

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\9\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \overrightarrow{AM}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

Die Länge der Vektoren, die wir für den Winkel benötigen, betragen:

$\displaystyle \|\overrightarrow{AB}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0^2+6^2+0^2}=6$
$\displaystyle \|\overrightarrow{AM}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{21}$

Winkel berechnen

Wir setzen die Vektoren und deren Längen in die Formel ein:

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}{6\cdot\sqrt{21}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{6\cdot\sqrt{21}}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$≈$	$\displaystyle 77°$

Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt etwa $77°$ .

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Die Punkte $A, B, M$ und $N$ sind die Eckpunkte eines Trapezes.
Betrachtet wird jetzt ein beliebiger Punkt $P$ auf der Kante $\overline{C S}$ sowie ein beliebiger Punkt $Q$ auf der Kante $\overline{D S}$ .
Begründen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ die folgenden Koordinaten haben: (5 BE)
$P(4-4p|10-4p|8p)$ mit $0 \leq p \leq 1$
$Q(4-4q|2+4q|8q)$ mit $0 \leq q \leq 1$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Geraden aufstellen
Gerade durch $C$ und $S$ : $\vec{x}=\overrightarrow{OC}+p\cdot \overrightarrow{CS}=\begin{pmatrix}4\\10\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}0-4\\6-10\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\10\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\8\end{pmatrix}$
Gerade durch $D$ und $S$ : $\vec{x}=\overrightarrow{OD}+p\cdot \overrightarrow{DS}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}0-4\\6-2\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-4\\4\\8\end{pmatrix}$
Punkte aufstellen
Die Parameter $p\in\mathbb{R}$ beschreiben für $0\le p\le 1$ Punkte zwischen $C/D$ und $S$ .
Die Zeilen der Geraden werden als Koordinaten aufgeschrieben:
$P(4-4p|10-4p|8p)$ mit $0 \leq p \leq 1$
$Q(4-4q|2+4q|8q)$ mit $0 \leq q \leq 1$
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Bestimme die Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ , sowie durch $D$ und $S$ .
Schreibe die Zeilen der Geraden als Koordinaten auf.
Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ sowie einen Punkt $Q$ gibt, sodass das Viereck $A B P Q$ ein Rechteck ist. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Nachweis des Rechtecks
In der Skizze lässt sich sehen, dass es so einen Fall geben muss. Die Vektoren $\overrightarrow{BP}$ und $\overrightarrow{AQ}$ stehen dabei senkrecht auf der y-Achse.
Von vorne lässt sich das leichter erkennen:
Wenn der Punkt $Q$ die y-Koordinate $3$ hat, steht die Seite senkrecht auf der y-Achse.
Dazu muss gelten: $2+4q=3$
Die Lösung $q=\frac14$ existiert, daher gibt es so einen Punkt $Q( 3|3|2)$ .
Genauso erhält man für den Vektor $\overrightarrow{BP}$ , dass die $y$ -Koordinate den Wert $9$ haben muss: $10-4p=9$ ergibt auch $p=\frac{1}{4}$ . Damit existiert auch $P(3|9|2)$ .
Da der Abstand $|\overrightarrow{PQ}|=6=|\overrightarrow{AB}|$ ist, handelt es sich wirklich um ein Rechteck.
Pyramide von vorne
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Für ein Rechteck müssen alle Innenwinkel $90°$ betragen.
Bestimme den Parameter $p$ der Punkte $P$ und $Q$ auf Teilaufgabe (c), für die die Vektoren senkrecht auf der y-Achse stehen.

9

Aufgabe 3C

Die Abbildung zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A(10|0| 0), B(0|7{,}5| 0), C(0|-7{,}5| 0), D(8|0| 1),$ $E(0|3| 3)$ und $F(0|-3| 3)$ . Das Dreieck $A B C$ wird als Grundfläche und das Dreieck $D E F$ als Deckfläche des Körpers bezeichnet. Die Deckfläche liegt in der Ebene $L$ .

Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Innenwinkel des Dreiecks $A B C$ im Eckpunkt $A$ .

Begründen Sie, dass die Kante $\overline{E F}$ parallel zur Grundfläche liegt. (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck

Wir berechnen die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ :

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0-10\\7{,}5-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\7{,}5\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \overrightarrow{AC}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0-10\\-7{,}5-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\-7{,}5\\0\end{pmatrix}$

Die Einträge in den Vektoren haben die gleichen Beträge, weshalb die Vektoren gleich lang sind. Das Dreieck $ABC$ ist damit gleichschenklig, da zwei Seiten gleich sind.

Winkel im Punkt $A$

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ haben die Längen:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-10)^2+7{,}5^2+0^2}=12{,}5=|\overrightarrow{AC}|$

Wir setzen die Vektoren und deren Längen in die Formel für den Winkel zwischen Vektoren ein:

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}-10\\7{,}5\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-10\\-7{,}5\\0\end{pmatrix}}{12{,}5\cdot 12{,}5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{43{,}75}{156{,}25}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$≈$	$\displaystyle 74°$

Seite $\overline{E F}$

Der Vektor $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0-0\\-3-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}$ verläuft in die Richtung der $x_2$ -Achse, denn die anderen Koordinaten sind 0. Damit ist die Seite $\overline{E F}$ parallel zu dieser Achse.

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Der Körper $A B C D E F$ kann zu einer Pyramide mit der Grundfläche $A B C$ und der Spitze $S$ ergänzt werden, wobei $D, E$ und $F$ auf den Kanten der Pyramide liegen.

Begründen Sie, dass $S$ in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene liegt. (5 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten von $S$ . [Zur Kontrolle: $S(0|0| 5)$ ]

$S$ ist auch Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche $D E F$ . Die nebenstehende Abbildung zeigt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene die Punkte $D$ und $S$ sowie den Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{E F}$ .
Begründen Sie, dass der Abstand von $S$ zur Ebene $L$ kleiner als $2$ ist, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch geeignete Eintragungen in der untenstehenden Abbildung. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lot
Abstand von $S$ zur Ebene $L$
Der Punkt $M$ hat die Koordinaten $(0|0|3)$ , da er die Mitte der Punkte $E(0|3| 3)$ und $F(0|-3| 3)$ ist.
Der Abstand von $M(0|0|3)$ und $S(0|0|5)$ ist $2$ Längeneinheiten.
Den kleinsten Abstand hat $S$ zur Ebene im Lotfußpunkt. Das Lot hat eine kleinere Länge als 2, weshalb der Abstand von $S$ zur Ebene kleiner als 2 ist.
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Berechne den Abstand von $S$ und $M$ . Überlege, wo der kürzeste Abstand von $S$ zur Ebene vorliegt.
Für $t \in[0 ; 1]$ besitzen die Punkte $D_{t}$ der Strecke $\overline{D S}$ die $x_{1}$ -Koordinate $8-8 t$ .
$A_{E F S}$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks EFS.
Begründen Sie, dass das Volumen der Pyramide $E F S D_{t}$ mit dem Term $\frac{1}{3} \cdot A_{E F S} \cdot(8-8 t)$ berechnet werden kann.
Beschreiben Sie ein Vorgehen zur Berechnung des Volumens des Körpers $A B C D_{t} E F$ .
(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Volumen der Pyramide
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer dreiseitigen Pyramide lautet:
$V=\frac13 G\cdot h$
Die Grundfläche ist für alle Werte von $t$ gegeben durch $A_{E F S}$ .
Die Höhe verändert sich mit $t$ , wobei die Länge der Höhe gerade der $x_1$ -Koordinate des Vektors $\overrightarrow{DS}$ entspricht.
Eingesetzt ergibt sich also:
$\displaystyle V$ $=$ $\displaystyle \frac13 G\cdot h$
$=$ $\displaystyle \frac13 A_{E F S}\cdot (8-8 t)$
Volumen des Körpers $A B C D_{t} E F$
Das Volumen von $A B C D_{t} E F$ entspricht das Volumen des roten Körpers.
Berechnet man das Volumen der ganzen Pyramide $ABCS$ kann das Volumen der kleinen, blauen Pyramide $EFD_tS$ abgezogen werden.
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Verwende die Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide.
Das Volumen des Körpers $A B C D_{t} E F$ kann mithilfe des Volumens von $E F S D_{t}$ berechnet werden.

$\displaystyle 8\cdot p^2+2\cdot2\cdot p\cdot\left(1-p\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(1-p\right)^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 8p^2+4p-4p^2+\frac{1}{2}-p+\frac{1}{2}p^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \frac{9}{2}p^2+3p-\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Division durch $\frac{9}{2}$
$\displaystyle p^2+\frac{2}{3}p-\frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	quadratische Gleichung lösen
$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\pm\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{3}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammfassen und Wurzel ziehen
$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\pm\frac{2}{3}$

$\displaystyle g:\ \vec{x}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SM_{CS}}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4-0\\6-6\\0-8\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-8\end{pmatrix}$

$\displaystyle P(X\ge16)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X\le15)$
	↓	BinomCdf mit dem Taschenrechner anwenden
	$=$	$\displaystyle 0{,}0188$

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix} }{ \sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{10}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{-6}{10}\right)$
	$≈$	$\displaystyle 126{,}87°$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac13 G\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac13 A_{E F S}\cdot (8-8 t)$

Wahlteil - GTR

Aufgabe 1A

Skizze des Graphen von q' in Abbildung 1

Beschreibung, wie der Graph von q' aus dem Graphen von q erzeugt werden kann

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Nachweis der Tangente

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Geometrische Bedeutung der Gleichung

Wert von b

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Extrempunkte des Graphen von h

y-Koordinaten der Punkte

Abstand zwischen den Punkten

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Wert für k

Nullstellen berechnen

Gleichsetzen der Flächeninhalte

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Momentane Durchflussrate zum Zeitpunkt, der stärksten Zunahme

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Lösung

Graphische Bedeutung der Aussage

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Interpretation im Sachzusammenhang:

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Aufgabe 1B

Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B

Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen

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Aufstellen des LGS

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Graphische Darstellung

Flächeninhalt der Seitenfläche

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Aufstellen der Normalengleichung

Mittelpunkt M hat die Koordinaten (0∣ 463)\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)(0​346​)

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Radius des Kreises

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Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an

Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn

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Größte Neigung in Prozent

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Berechnung der Punkte bzw. Stellen

Geradengleichung durch die Punkte

Probe für den dritten Punkt

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Aufgabe 1C

Begründung, dass fff symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist

Schnittpunkte des Graphen von fff mit den Koordinatenachsen

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Steigung der Geraden

Koordinaten der Extrempunkte

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Werte für ddd, sodass der Graph zu f(x)+df(x)+df(x)+d genau zwei Nullstellen besitzt

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Schnittpunkte zwischen den Graphen von fff und von ttt

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Lösung

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Bedeutung der Wendestelle von ggg hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an

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Passende Aufgabenstellung

Erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg

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Begründung

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Aufgabe 2A

Erwartungswert berechnen

95 %95\;\%95%-Prognoseintervall für die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen

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Ereignis

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Wahrscheinlichkeit, dass der Vertrag abgeschlossen wird

Wahrscheinlichkeit insgesamt

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Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

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Sachkontext

Mittelpunkt M hat die Koordinaten $\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)$

Begründung, dass $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist

Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen

Werte für $d$ , sodass der Graph zu $f(x)+d$ genau zwei Nullstellen besitzt

Schnittpunkte zwischen den Graphen von $f$ und von $t$

Bedeutung der Wendestelle von $g$ hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an

$95\;\%$ -Prognoseintervall für die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen

Begründung, dass $X$ binomialverteilt ist

Punkt $M$

Winkel im Punkt $A$

Seite $\overline{E F}$

$S$ liegt in der $x_2$ - $x_3$ -Ebene

Koordinaten von $S$

Abstand von $S$ zur Ebene $L$

Volumen des Körpers $A B C D_{t} E F$