Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1C

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x$ .

Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte. Einer davon hat die $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ .

Der Graph von $f$ hat den Wendepunkt $(0|0).$

Begründen Sie, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. (5 BE)
Es gibt Punkte des Graphen von $f$ , in denen die Tangente an den Graphen von $f$ parallel zur Geraden durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f$ ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. (6 BE)
Bestimmen Sie alle Werte für $d$ , sodass der Graph zu $f(x)+d$ genau zwei Nullstellen besitzt. (4 BE)
Die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(6 \mid f(6))$ hat die Gleichung
$t(x)=\frac{8}{3} x-16$ . Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (4 BE)
Der Graph von $f$ soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:
- Spiegeln an der $x$ -Achse
- Verschieben um $6$ in positive $x$ -Richtung
- Verschieben um $14$ in positive $y$ -Richtung
Der Graph von $f$ soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:
- Spiegeln an der $x$ -Achse
- Verschieben um 6 in positive $x$ -Richtung
- Verschieben um 14 in positive $y$ -Richtung
Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, nachdem die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt wurden.
Begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)
Wird der Graph von $f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit
$g(x)=-\frac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14$ .
Die Abbildung zeigt den Graphen von $g$ .

Die Funktion $g$ beschreibt für $0 \leq x<12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ .
Geben Sie die Bedeutung der Wendestelle von $g$ hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an. (3 BE)
Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12}$ oder $x=6+\sqrt{12}$
$g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6{,}2$
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an.
Erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (5 BE)
Entscheiden Sie, ob die Funktion $g$ für $x \geq 12$ geeignet ist, den Verlauf der
Tagesdurchschnittstemperatur an dem betrachteten Ort für ein weiteres Jahr zu beschreiben.
Begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)