Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit

$A(0|3| 0), B(0|9| 0), C(4|10| 0)$ und $D(4|2| 0)$ sowie der Spitze im Punkt $S(0|6| 8)$ .

$M$ bezeichnet den Mittelpunkt der Kante $\overline{D S}$ und $N$ bezeichnet den Mittelpunkt der Kante $\overline{C S}$ .

Begründen Sie, dass das Dreieck $D C S$ gleichschenklig ist.

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade, auf der die Symmetrieachse des Dreiecks DCS liegt. (6 BE)

Berechnen Sie den von den Kanten $\overline{A B}$ und $\overline{A M}$ eingeschlossenen Winkel. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen

Punkt $M$

Die Mitte der Punkte $S(0|6| 8)$ und $D(4|2| 0)$ ist der Punkt $M(2|4|4)$ . Hier wurde jeweils die Mitte der Koordinaten bestimmt.

Vektoren berechnen

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AM}$ berechnen wir "Spitze minus Fuß":

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\9\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \overrightarrow{AM}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

Die Länge der Vektoren, die wir für den Winkel benötigen, betragen:

$\displaystyle \|\overrightarrow{AB}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0^2+6^2+0^2}=6$
$\displaystyle \|\overrightarrow{AM}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{21}$

Winkel berechnen

Wir setzen die Vektoren und deren Längen in die Formel ein:

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}{6\cdot\sqrt{21}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{6\cdot\sqrt{21}}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$≈$	$\displaystyle 77°$

Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt etwa $77°$ .

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Die Punkte $A, B, M$ und $N$ sind die Eckpunkte eines Trapezes.
Betrachtet wird jetzt ein beliebiger Punkt $P$ auf der Kante $\overline{C S}$ sowie ein beliebiger Punkt $Q$ auf der Kante $\overline{D S}$ .
Begründen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ die folgenden Koordinaten haben: (5 BE)
$P(4-4p|10-4p|8p)$ mit $0 \leq p \leq 1$
$Q(4-4q|2+4q|8q)$ mit $0 \leq q \leq 1$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Geraden aufstellen
Gerade durch $C$ und $S$ : $\vec{x}=\overrightarrow{OC}+p\cdot \overrightarrow{CS}=\begin{pmatrix}4\\10\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}0-4\\6-10\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\10\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\8\end{pmatrix}$
Gerade durch $D$ und $S$ : $\vec{x}=\overrightarrow{OD}+p\cdot \overrightarrow{DS}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}0-4\\6-2\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-4\\4\\8\end{pmatrix}$
Punkte aufstellen
Die Parameter $p\in\mathbb{R}$ beschreiben für $0\le p\le 1$ Punkte zwischen $C/D$ und $S$ .
Die Zeilen der Geraden werden als Koordinaten aufgeschrieben:
$P(4-4p|10-4p|8p)$ mit $0 \leq p \leq 1$
$Q(4-4q|2+4q|8q)$ mit $0 \leq q \leq 1$
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Bestimme die Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ , sowie durch $D$ und $S$ .
Schreibe die Zeilen der Geraden als Koordinaten auf.
Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ sowie einen Punkt $Q$ gibt, sodass das Viereck $A B P Q$ ein Rechteck ist. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Nachweis des Rechtecks
In der Skizze lässt sich sehen, dass es so einen Fall geben muss. Die Vektoren $\overrightarrow{BP}$ und $\overrightarrow{AQ}$ stehen dabei senkrecht auf der y-Achse.
Von vorne lässt sich das leichter erkennen:
Wenn der Punkt $Q$ die y-Koordinate $3$ hat, steht die Seite senkrecht auf der y-Achse.
Dazu muss gelten: $2+4q=3$
Die Lösung $q=\frac14$ existiert, daher gibt es so einen Punkt $Q( 3|3|2)$ .
Genauso erhält man für den Vektor $\overrightarrow{BP}$ , dass die $y$ -Koordinate den Wert $9$ haben muss: $10-4p=9$ ergibt auch $p=\frac{1}{4}$ . Damit existiert auch $P(3|9|2)$ .
Da der Abstand $|\overrightarrow{PQ}|=6=|\overrightarrow{AB}|$ ist, handelt es sich wirklich um ein Rechteck.
Pyramide von vorne
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Für ein Rechteck müssen alle Innenwinkel $90°$ betragen.
Bestimme den Parameter $p$ der Punkte $P$ und $Q$ auf Teilaufgabe (c), für die die Vektoren senkrecht auf der y-Achse stehen.

$\displaystyle g:\ \vec{x}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SM_{CS}}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4-0\\6-6\\0-8\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-8\end{pmatrix}$

Aufgabe 3B

Gleichschenkliges Dreieck

Geradengleichung aufstellen

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Punkt $M$

Vektoren berechnen

Winkel berechnen

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Geraden aufstellen

Punkte aufstellen

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Nachweis des Rechtecks

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Aufgabe 3B

Gleichschenkliges Dreieck

Geradengleichung aufstellen

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Punkt MMM

Vektoren berechnen

Winkel berechnen

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Geraden aufstellen

Punkte aufstellen

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Nachweis des Rechtecks

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Punkt $M$