Wahlteil 1 - GTR

• $\text{𝐱}$ steht für die Zeit in Jahren seit Jahresbeginn $\text{2010}.$

• $\text{𝐟(𝐱)}$ steht für den Preis in Euro pro Kilowattstunde.

• $\text{𝟏𝟎𝟐𝟗,𝟒}$ ist der Preis in Euro pro Kilowattstunde zu Beginn des Jahres $\text{2010}$.

• $\text{𝟎,𝟖𝟒}$ ist der Faktor, um den die Preise pro Jahr abnehmen.

Nach $\text{𝟓}$ Jahren, zu Beginn des Jahres $2015$, beträgt der Preis

pro Kilowattstunde $\text{𝟒𝟑𝟎,𝟓𝟏}$ $€$.

Berechnung des Batteriepreises

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{f}(8)=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^8$

$\mathrm{f}(8)=\mathrm{255,16}$

Der Batteriepreis pro Kilowattstunde beträgt zu Beginn des Jahres $2018$ etwa $255€$.

Trage den Batteriepreis in die Lücke ein.

Berechnung des Batteriepreises

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{f}(-2)=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^{-2}$

$\mathrm{f}(-2)={\displaystyle \frac{\mathrm{1029,4}}{{\mathrm{0,84}}^{\mathrm{x}}}}\Rightarrow \mathrm{f}(-2)={\displaystyle \frac{\mathrm{1029,4}}{{\mathrm{0,84}}^2}}$

$\mathrm{f}(-2)=\mathrm{1458,90}$

Zu Beginn des Jahres $2008$ betrug nach diesem Modell der Batteriepreis pro

Kilowattstunde ungefähr: $1459€$.

Trage den Batteriepreis pro Kilowattstunde in die Lücke ein.

$1$. Rechnerische Lösung:

Lösen der Exponentialgleichung

$1.$ Graphische Lösung:

Voraussichtlich im Jahr $2024$ wird der Preis erstmals unter $85€$ pro Kilowattstunde liegen.

Vergleich der Batteriepreise

Der Preis einer Batterie pro Kilowattstunde im Jahre $2010$ beträgt:

$\mathrm{1029,40}€$

Der Preis einer Batterie pro Kilowattstunde im Jahre $2015$ beträgt:

$\mathrm{430,51}€$(siehe Teilaufgabe $\text{𝐛}$).

Prozentuale Abweichung

$\mathrm{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{1029,4}-\mathrm{430,51}}{\mathrm{1029,4}}}\cdot 100\%\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{58,18}\%$

Die Funktion $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^{\mathrm{x}}$ passt zu dieser Abbildung.

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{f}(11)=\mathrm{1029,4}\cdot {\mathrm{0,84}}^{11}\Rightarrow \mathrm{f}(11)=\mathrm{151,24}€$

Abweichung des Batteriepreises:

$\mathrm{151,24}-95=\mathrm{56,24}€$

Ralfs Modellierung weicht um ungefähr $56€$ vom tatsächlichen Preis ab.

Trage den Wert in die Lücke ein.

Zu Beginn wird die Batterie sehr schnell geladen. Je länger der Ladevorgang dauert, desto geringer wird der Anstieg der Akkuladung. Die Ladung nähert sich $100\%.$

Bei einem exponentiellem Wachstum wäre die Ladegeschwindigkeit am Anfang gering und würde mit zunehmender Zeit immer schneller werden. Beim Ladevorgang handelt es sich um kein exponentielles Wachstum, weil die Ladegeschwindigkeit mit zunehmender Zeit langsamer wird.

Bei dem Term $100-100\cdot {\mathrm{0,96}}^{\text{x}}$ wird von $100$ subtrahiert. $100\cdot {\mathrm{0,96}}^{\text{x}}$ steht für eine exponentielle Abnahme. Dieser Term ist immer positiv. Der Funktionswert von $\text{𝐠}$ ist deshalb immer kleiner als $100.$