Formel Kugeloberfläche

$O_{K} = 4 \cdot \pi \cdot r^{2}$

Wenn wir nun den Radius r in die Formel $O_{K}$ einsetzen, dann kriegen wir die gewünschte Flächeneinheit in Quadratmeter. Den Radius r von Zentimeter in Meter umzurechnen ist zumeist weniger Fehleranfällig als die $12\ m^{2}$ in $cm^{2}$ umzurechnen.

Oberfläche der Ausgangskugel $K_1$

$O_{K_1} = 4 \cdot \pi \cdot r^{2}$

Verdoppelung des Durchmessers

$\Rightarrow$ Bei einer Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Wir setzen den verdoppelten Radius in die Formel ein und untersuchen, wie sich die Oberfläche verändert:

$O_{K_2} = 4 \cdot \pi \cdot (2r)^{2}$

$O_{K_2} = 4 \cdot \pi \cdot 4r^{2}$

$O_{K_2} = 4\cdot(4\cdot \pi \cdot r^{2})$

$O_{K_2} = 4\cdot O_{K1}$

Die Oberfläche einer Kugel mit doppeltem Durchmesser ist viermal so groß, wie die ursprüngliche Kugel. Für eine Glaskugel mit doppeltem Durchmesser benötigt man also viermal so viel Farbe.“

Baumdiagramm

$3\%$ der Kugeln haben eine Form mit Fehlern.

$6\%$ der Kugeln haben eine Form ohne Fehler, aber eine Lackierung mit Fehler.

Begründung

Der untere Ast des Baumdiagramms wird nicht fortgeführt, weil alle Glaskugeln, die eine Form mit Fehlern haben, direkt aussortiert werden. Sie werden keiner weiteren Kontrolle unterzogen.

Kugeln mit einer Form ohne Fehler

$2000\cdot 0{,}97=1940$

Kugeln mit einer Form ohne Fehler und ohne Fehler bei der Lackierung

$1940\cdot 0{,}94=1823{,}6$

Es werden etwa 1823 Kugeln ohne Fehler erwartet.

Kugeln ohne Fehler

$3000\cdot 0{,}97\cdot 0{,}94=2735{,}4$

Kugeln mit Fehler

$3000-2735{,}4=264{,}6$

Prozentualer Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl:

$\dfrac{261}{264{,}6}= 0{,}9863..$

Der prozentuale Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl beträgt rund $98{,}6\%$.

Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl

$100-98{,}6=1{,}4$

Die Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl beträgt etwa $1{,}4 \%$.