Prüfungsteil 2 2021

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Hier findest du die Aufgaben aus dem Prüfungsteil 1 der ZP 10 Mathe 2021 für die gymnasiale Differenzierung mit ausführlichen Musterlösungen. Diese Aufgaben wurden in einer anderen Variante zum Haupttermin 1 verwendet.

Aufgabe 1: Glaskugeln

Ein Unternehmen stellt lackierte Glaskugeln her (Abbildung 1).

Die Glaskugeln haben einen Durchmesser von $8 \mathrm{~cm}$ .

Nach der Herstellung der Form wird die Kugeloberfläche lackiert.

Mit einem Liter Farbe kann eine Fläche von $12 \mathrm{~m}^{2}$ lackiert werden.

Berechne, wie viele Glaskugeln mit einem Liter Farbe lackiert werden können. (4 P)

Ein Praktikant behauptet: „Für eine Glaskugel mit doppeltem Durchmesser benötigt man viermal so viel Farbe.“
Weise allgemein nach, dass die Behauptung unabhängig von der Größe der Ausgangskugel stimmt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Oberfläche der Ausgangskugel $K_1$
$O_{K_1} = 4 \cdot \pi \cdot r^{2}$
Verdoppelung des Durchmessers
$\Rightarrow$ Bei einer Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.
Wir setzen den verdoppelten Radius in die Formel ein und untersuchen, wie sich die Oberfläche verändert:
$O_{K_2} = 4 \cdot \pi \cdot (2r)^{2}$
$O_{K_2} = 4 \cdot \pi \cdot 4r^{2}$
$O_{K_2} = 4\cdot(4\cdot \pi \cdot r^{2})$
$O_{K_2} = 4\cdot O_{K1}$
Die Oberfläche einer Kugel mit doppeltem Durchmesser ist viermal so groß, wie die ursprüngliche Kugel. Für eine Glaskugel mit doppeltem Durchmesser benötigt man also viermal so viel Farbe.“
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Stelle die Formel für die Oberfläche einer Kugel $K_1$ mit dem Radius $r$ auf.
Berechne den Radius der Kugel bei doppeltem Durchmesser.
Stelle die Formel für die Kugel $K_2$ mit doppeltem Durchmesser auf.
Bevor die lackierten Glaskugeln verpackt werden, durchlaufen sie eine Qualitätskontrolle. Zuerst wird die Form, danach die Lackierung auf Fehler kontrolliert. Alle Glaskugeln mit einem Fehler werden direkt aussortiert. Das Baumdiagramm zeigt die Anteile. Die Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet. (2 P)
Ergänze die drei fehlenden Angaben im Baumdiagramm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit dem Baumdiagramm
Baumdiagramm
$3\%$ der Kugeln haben eine Form mit Fehlern.
$6\%$ der Kugeln haben eine Form ohne Fehler, aber eine Lackierung mit Fehler.
Vollständiges Baumdiagramm
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Bei jeder Verzweigung ergibt die Summe der Äste $100\%$ .
Begründe, warum der untere Ast des Baumdiagramms nicht fortgeführt ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit dem Baumdiagramm
Begründung
Der untere Ast des Baumdiagramms wird nicht fortgeführt, weil alle Glaskugeln, die eine Form mit Fehlern haben, direkt aussortiert werden. Sie werden keiner weiteren Kontrolle unterzogen.
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Insgesamt werden 2000 Glaskugeln kontrolliert.
Berechne, wie viele fehlerfreie Glaskugeln zu erwarten sind. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit dem Baumdiagramm
Kugeln mit einer Form ohne Fehler
$2000\cdot 0{,}97=1940$
Kugeln mit einer Form ohne Fehler und ohne Fehler bei der Lackierung
$1940\cdot 0{,}94=1823{,}6$
Es werden etwa 1823 Kugeln ohne Fehler erwartet.
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Berechne die Erwartungswerte: $\mu=n\cdot p$
Bei einer weiteren Kontrolle werden 3000 Kugeln überprüft. 261 Kugeln sind fehlerhaft.
Bestimme, um wie viel Prozent die tatsächliche Anzahl von der erwarteten Anzahl abweicht. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit dem Baumdiagramm
Kugeln ohne Fehler
$3000\cdot 0{,}97\cdot 0{,}94=2735{,}4$
Kugeln mit Fehler
$3000-2735{,}4=264{,}6$
Prozentualer Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl:
$\dfrac{261}{264{,}6}= 0{,}9863..$
Der prozentuale Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl beträgt rund $98{,}6\%$ .
Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl
$100-98{,}6=1{,}4$
Die Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl beträgt etwa $1{,}4 \%$ .
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Berechne die erwartete Anzahl der Kugeln ohne Fehler.
Berechne die erwartete Anzahl der Kugeln mit Fehlern.
Berechne den prozentualen Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl.
Berechne die Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl.

Aufgabe 2: Blobbing

Abbildung 1: Ablauf eines Blobbingsprunges als überlagerte Aufnahme

Blobbing ist eine Wassersportart im Freien (Abbildung 1).

Eine vereinfachte Darstellung des Ablaufs ist in Abbildung 2 dargestellt. Beim Blobbing liegt ein mit Luft gefülltes Kissen im Wasser.

(1) Der Jumper springt vom Turm auf das Luftkissen.

(2) Auf der anderen Seite des Kissens ist der Blobber. Durch den Sprung befördert der Jumper den Blobber in die Luft.

Abbildung 1: Ablauf eines BlobbingSprunges als überlagerte Aufnahme

(3) Der Blobber wird in die Luft geschleudert und landet dann im Wasser.

Abbildung 2: Vereinfachte Darstellung des Blobbing-Ablaufs (nicht maßstabsgetreu)

Der Jumper kann zwischen verschiedenen Absprunghöhen wählen. Ein Sprung aus fünf Meter Höhe dauert ca. 1 Sekunde. Ein Sprung aus zehn Meter Höhe dauert ca. 1,42 Sekunden.

Tabelle 1: Sprungdauer in Abhängigkeit von der Absprunghöhe

Skizziere zu den Werten aus Tabelle 1 den passenden Graphen in dem abgebildeten Koordinatensystem (Abbildung 3). (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Skizzieren des zur Tabelle passenden Graphen.
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Übertrage die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem, wobei die Absprunghöhe auf der x-Achse, die Sprungdauer auf der y-Achse liegt.
Überprüfe, ob es zwischen der Absprunghöhe und der Sprungdauer einen linearen Zusammenhang gibt. Notiere deinen Lösungsweg. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Wir wählen zwei Punkte und überprüfen die Zunahme
Bei 0 Metern dauert der Sprung 0 Sekunden
Bei 5 Metern dauert der Sprung 1 Sekunde
Innerhalb von 5 Metern, nimmt die Dauer also um 1 Sekunde zu.
Wir überprüfen nun, ob bei zwei anderen Absprunghöhen mit 5 Metern Abstand die Dauer auch um 1 Sekunde zunimmt.
Zwischen 5 und 10 Metern liegt wieder derselbe Abstand vor, also müsste bei einem linearen Wachstum auch wieder die Dauer um 1 Sekunde zunehmen.
Dies ist nicht der Fall, deshalb handelt es sich um keinen linearen Zusammenhang
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Wähle zwei Punkte und berechne die Zunahme, indem du die Differenz der beiden Dauern berechnest.
Wähle zwei weitere Punkte mit demselben Abstand und berechne erneut die Zunahme.
Überlebe dir, wie sich die Zunahme bei einem linearen Wachstum verhalten muss und folgere so deine Entscheidung.
Abbildung 4: Flugbahn des Blobbers A
Abbildung 4 zeigt die Flugbahn eines Blobbers A.
Begründe, dass sich die Funktion $f$ mit
zur Modellierung der Flugbahn von Blobber A eignet. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Koordinaten des Scheitelpunkts
Aus der Skizze lesen wir den Scheitel $S(5|6)$ ab.
Die Funktion hat dann allgemein den Funktionsterm:
$\mathrm{f(x)=a\cdot(x-5)^2+6;\qquad }$
Berechnen von $\mathrm{f(0)}$ zur Bestimmung von a
$\mathrm{f(0)=a\cdot(0-5)^2+6\quad\Rightarrow f(0)=25a+6}$
Der Skizze nach muss $f(0)=1$ betragen. Dann gilt:
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle 25a+6$ $\displaystyle -6$
$\displaystyle -5$ $=$ $\displaystyle 25a$ $\displaystyle :25$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle -0{,}2$
Die Funktion $\text{f}$ mit $\mathrm{f(x)=-0{,}2 \cdot(x-5)^{2}+6}$ , eignet sich zur Modellierung der Flugbahn von Blobber $\text{A}$ , da der Scheitel $\text{S}$ und $\mathrm{f(0)}=1$ mit dem Funktionsgraphen von $\mathrm{f(x)}$ übereinstimmen.
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Die Scheitelform lautet: $\mathrm{f(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$
Setze den Scheitel des Graphen in die Form ein und bestimme mit einem anderen Punkt den Wert des Parameters $a$ .
Die Flugbahn von Blobber A kann somit durch die Funktion $f$ mit $f(x)=-0{,}2 \cdot(x-5)^{2}+6$ beschrieben werden.
Die Funktionsgleichung $g$ mit $g(x)=-0{,}2 \cdot x^{2}+2 x+1$ beschreibt dieselbe Flugbahn.
Zeige durch Termumformungen, dass die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ dieselbe Parabel beschreiben. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Umwandeln von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form:
auflösen der Klammer:
$\mathrm{f(x)=-0{,}2\cdot(x^2-10x+25)+6}$
$\mathrm{f(x)=-0{,}2x^2+2x-5+6}$
zusammenfassen:
$\mathrm{f(x)=-0{,}2x^2+2x+1}$
$\rule{10cm}{0.5mm}$
$f$ und $g$ sind identisch: $f(x)=g(x)$
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Wandle die Scheitelform von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form um.

Berechne, wie weit Blobber A geflogen ist. (4 P)

Die Flugbahn eines zweiten Blobbers B wird mit der Funktion $h$ mit $h(x)=-0{,}28 \cdot x^{2}+2{,}8 x+1$ beschrieben.

Nenne eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied der Flugbahn des zweiten Blobbers B im Vergleich zur Flugbahn von Blobber A. (2 P)

Die Blobbing-Anlage muss aus Sicherheitsgründen so beschaffen sein, dass eine Flughöhe von $15 \mathrm{~m}$ nicht überschritten wird.

Zeige rechnerisch, dass auch der zweite Blobber B diese Flughöhe nicht überschreitet. (2 P)

Aufgabe 3: Muster

Jan möchte ein Muster aus rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken konstruieren. Er beginnt mit dem Dreieck $D_{1}$ (Abbildung 1).

Zeige mit einer Rechnung, dass die Länge der Hypotenuse von Dreieck $D_{1}$ ca. $4{,}243 \mathrm{~cm}$ beträgt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnung der Länge der Hypotenuse
Der Satz des Pythagoras lautet:
$\mathrm{c^2=a^2+b^2}$
in dem gezeigten Dreieck $\text{D}_{1}$ gilt: $\mathrm{a=b=3\ cm}$
Setze $3$ in die Formel ein und berechne die Hypotenuse $\textbf{c}.$
$\mathrm{c=\sqrt{3^2+3^2}\ cm\quad\Rightarrow c=\sqrt{18}\ cm}$
$\mathrm{c\approx4{,}243\ cm}$
Die Länge der Hypotenuse von Dreieck $\text{D}_{1}$ beträgt ca. $\boxed{\mathrm{4{,}243\ cm}}$
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Berechne die Hypotenuse des Dreiecks $\text{D}_{1}$ mit dem Satz des Pythagoras.

Jan setzt das Muster mit den beiden weiteren Dreiecken $D_{2}$ und $D_{3}$ fort (Abbildung 2).

Ergänze das Dreieck $D4$ zeichnerisch in Abbildung 2. Beschreibe, wie du vorgegangen bist. (4 P)

Abbildung 2: Muster bis Dreieck zu Teilaufgabe b) - d) — Abbildung 2: Muster bis Dreieck $D_{3}$ zu Teilaufgabe b) - d)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Beschreibung	Zeichnung
Die Hypotenuse von $D_3$ wird eine der beiden Katheten von $D_4$ .
Trage am äußeren Punkt von $D_3$ einen rechten Winkel an. Hier entsteht die zweite Kathete von $D_4$ .
Miss die Länge der Hypotenuse von $D_3$ .
Zeichne die zweite Kathete von $D_4$ mit der gemessenen Länge ein.
Verbinde die beiden Katheten von $D_4$ zur Hypotenuse.

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Begründe, wie viele Dreiecke gezeichnet werden können, ohne dass sich diese überschneiden. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreise und Kreisteile
Skizze der Figur
Es können $8$ Dreiecke gezeichnet werden, ohne, dass sie sich überschneiden.
Begründung
Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, das bedeutet die Basiswinkel
betragen $45^\circ$ . Ein Vollkreis hat $360^\circ$ . Die Anzahl der Dreiecke ist dann: $\dfrac{360}{45}=8.$
Siehe Skizze.
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Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, die Basiswinkel sind also $45^\circ.$
Ein Vollwinkel hat $360^\circ$ .
Berechne, wie oft $45$ in $360$ enthalten ist.
Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt von Dreieck $D_{2}$ doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt von Dreieck $D_{1}$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Skizze der Figur
Berechnen der Hypotenuse von Dreieck $\text{D}_{1}$
$\mathrm{H_{{D}_{1}}=\sqrt{a^2+a^2}}\quad\Rightarrow \mathrm{H_{D_1}=\sqrt{2a^2}}$
$\boxed{\mathrm{H_{D_1}=a\sqrt{2}}}$
Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck $\text{D}_1$
$\mathrm{A_{D_1}=\dfrac{a\cdot a}{2}\quad\Rightarrow A_{D_1}=\dfrac{a^2}{2}}$
$\boxed{\mathrm{A_{D_1}=\dfrac{1}{2}\cdot a^2}}$
Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks $\text{D}_{2}$
$\mathrm{A_{D_2}=\dfrac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow A_{D_2}=\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}a^2}$
$\boxed{\mathrm{A_{D_2}=a^2}}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_1$ beträgt $\boxed{\mathrm{\dfrac{1}{2}\cdot a^2}}$ ,
der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_2$ beträgt $\boxed{\mathrm{a^2}}.$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_{2}$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_{1}$ .
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Die Hypotenuse von Dreieck $\text{D}_{1}$ wird zur Kathete von Dreieck $\text{D}_{2}.$ Berechne die Flächeninhalte beider Dreiecke und vergleiche sie.
Jan berechnet weitere Flächeninhalte der Dreiecke in seinem Muster (Abbildung 3) und hält die Ergebnisse in einer Tabelle fest.
Abbildung 3: Muster bis Dreieck $D_{5}$ verkleinert dargestellt
Begründe, dass kein Dreieck in dem Muster einen Flächeninhalt von genau $250 \mathrm{~cm}^{2}$ hat. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teiler und Vielfache
Die Flächeninhalte der Dreiecke in dem Muster sind ein Vielfaches von $4{,}5$ .
$250$ ist nicht ohne Rest durch $4{,}5$ teilbar.
$250:4{,}5=55,\overline{5}$
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Überlege, ob $250$ ohne Rest durch $4{,}5$ teilbar ist.
Jan möchte das Muster aus Papier herstellen. Dazu schneidet er die einzelnen Dreiecke aus DIN-A4-Blättern ( $21 \mathrm{~cm} \times$ 29,7 cm) aus. Jan behauptet: „Auch das Dreieck $D_{8}$ kann ich aus einem einzigen DIN-A4-Blatt ausschneiden.“
Entscheide begründet, ob Jans Behauptung zutrifft. (3 P)

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$
Die Fläche des Dreiecks $\text{D}_8$ berechnet sich:
$\mathrm{A_{D_8}=4{,}5\cdot2^7=576\ cm^2}$
Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$
Die Kathete eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich:
$\mathrm{A_{D_8}=\dfrac{a^2}{2}\quad\Rightarrow a=\sqrt{2\cdot A_{D_8}}}\quad$ einsetzen der Zahlenwerte
$\mathrm{a=\sqrt{2\cdot 576\ cm^2}}$
$\mathrm{a\approx33{,}94\ cm}$
Da die Länge der Kathete des Dreiecks $\text{D}_8$ ca. $\mathrm{33{,}94\ cm}$ , die längere Seite
eines DIN-A4-Blatts aber nur $\mathrm{29{,}7\ cm}$ beträgt, ist es nicht möglich das Dreieck $\text{D}_8$
aus einem einzigen DIN-A4-Blatt auszuschneiden.
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Berechne die Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$ und vergleich sie mit den Abmessungen eines DIN-A4-Blatts.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{d}{2}$	$\displaystyle d\ =\ 8$
	↓	Durchmesser einsetzen und ausrechnen
	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \cdot\frac{1}{100}$
	↓	Zentimeter in Meter umrechnen
	$=$	$\displaystyle 0{,}04$

Farbfläche gleichsetzen mit Kugeloberflächenformel multipliziert mit einer Unbekannten (hier x)
	↓
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 4 \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot x$	$\displaystyle \cdot\frac{1}{4\cdot\pi\cdot r^2}$
	↓	nach x umstellen, für $r = 0{,}04$ einsetzen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{12}{4 \cdot \pi \cdot 0{,}04^{2}}$
	↓	ausrechnen
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 596{,}83$

setze $\mathrm{f(x)}=0$
	↓
$\displaystyle -0{,}2x^2+2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel
$\displaystyle \mathrm{x_{1/2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2+4\cdot0{,}2\cdot1}}{-0{,}4}$
$\displaystyle \mathrm{x_{1/2}}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\dfrac{-2\pm\sqrt{4{,}8}}{-0{,}4}}$
$\displaystyle \mathrm{x_1}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\dfrac{-2-2{,}19}{-0{,}4}}$
$\displaystyle \mathrm{x_1}$	$≈$	$\displaystyle 10{,}475$
$\displaystyle \mathrm{x_2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2+2{,}19}{-0{,}4}$
$\displaystyle \mathrm{x_2}$	$≈$	$\displaystyle -0{,}475$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}28x^2+2{,}8x+1$
	↓	$-0{,}28$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x^2-10x\right)+1$
	↓	$10x$ umschreiben zu $2\cdot 5x$ für die quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x^2-2\cdot{\color{blue}5}x\right)+1$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x^2-2\cdot 5x+{\color{blue}5^2}-{\color{blue}5^2}\right)+1$
	↓	2. Binomische Formel
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(\left(x-5\right)^2-25\right)+1$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x-5\right)^2+7+1$
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x-5\right)^2+8$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 15$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle -0{,}28x^2+2{,}8x+1$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}28x^2+2{,}8x-14$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 25a+6$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 25a$	$\displaystyle :25$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -0{,}2$

Prüfungsteil 2 2021

Aufgabe 1: Glaskugeln

Formel Kugeloberfläche

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Oberfläche der Ausgangskugel K1K_1K1​

Verdoppelung des Durchmessers

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Baumdiagramm

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Begründung

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Kugeln mit einer Form ohne Fehler

Kugeln mit einer Form ohne Fehler und ohne Fehler bei der Lackierung

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Kugeln ohne Fehler

Kugeln mit Fehler

Prozentualer Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl:

Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl

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Aufgabe 2: Blobbing

Skizzieren des zur Tabelle passenden Graphen.

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Wir wählen zwei Punkte und überprüfen die Zunahme

Wir überprüfen nun, ob bei zwei anderen Absprunghöhen mit 5 Metern Abstand die Dauer auch um 1 Sekunde zunimmt.

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Koordinaten des Scheitelpunkts

Berechnen von f(0)\mathrm{f(0)}f(0) zur Bestimmung von a

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Umwandeln von f(x)\mathrm{f(x)}f(x) in die allgemeine Form:

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Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

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Scheitelpunktform bestimmen:

Mögliche Gemeinsamkeiten:

Mögliche Unterschiede:

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Wir setzen die Gleichung "= 15":

Mithilfe der Mitternachtsformel untersuchen wir die Diskriminante:

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Aufgabe 3: Muster

Berechnung der Länge der Hypotenuse

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Hast du eine Frage oder Feedback?

Skizze der Figur

Begründung

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Skizze der Figur

Berechnen der Hypotenuse von Dreieck D1\text{D}_{1}D1​

Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck D1\text{D}_1D1​

Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks D2\text{D}_{2}D2​

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Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks D8\text{D}_8D8​

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks D8\text{D}_8D8​

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Oberfläche der Ausgangskugel $K_1$

Berechnen von $\mathrm{f(0)}$ zur Bestimmung von a

Umwandeln von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form:

Berechnen der Hypotenuse von Dreieck $\text{D}_{1}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck $\text{D}_1$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks $\text{D}_{2}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$