Prüfungsteil 2 2021

Formel Kugeloberfläche

$O_K=4\cdot \pi \cdot r^{2}O\_\{K\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^\{2\}$

Wenn wir nun den Radius r in die Formel $O_{K}O\_\{K\}$ einsetzen, dann kriegen wir die gewünschte Flächeneinheit in Quadratmeter. Den Radius r von Zentimeter in Meter umzurechnen ist zumeist weniger Fehleranfällig als die $12m^{2}12\backslash \; m^\{2\}$ in $c{m}^{2}cm^\{2\}$ umzurechnen.

Oberfläche der Ausgangskugel $K_{1}K\_1$

$O_{K_1}=4\cdot \pi \cdot r^{2}O\_\{K\_1\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^\{2\}$

Verdoppelung des Durchmessers

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Bei einer Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Wir setzen den verdoppelten Radius in die Formel ein und untersuchen, wie sich die Oberfläche verändert:

$O_{K_2}=4\cdot \pi \cdot (2r{)}^{2}O\_\{K\_2\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; (2r)^\{2\}$

$O_{K_2}=4\cdot \pi \cdot 4r^{2}O\_\{K\_2\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 4r^\{2\}$

$O_{K_2}=4\cdot (4\cdot \pi \cdot r^2)O\_\{K\_2\}\; =\; 4\backslash cdot(4\backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^\{2\})$

$O_{K_2}=4\cdot O_{K1}O\_\{K\_2\}\; =\; 4\backslash cdot\; O\_\{K1\}$

Die Oberfläche einer Kugel mit doppeltem Durchmesser ist viermal so groß, wie die ursprüngliche Kugel. Für eine Glaskugel mit doppeltem Durchmesser benötigt man also viermal so viel Farbe.“

Baumdiagramm

$3\mathrm{\%}3\backslash \%$ der Kugeln haben eine Form mit Fehlern.

$6\mathrm{\%}6\backslash \%$ der Kugeln haben eine Form ohne Fehler, aber eine Lackierung mit Fehler.

Begründung

Der untere Ast des Baumdiagramms wird nicht fortgeführt, weil alle Glaskugeln, die eine Form mit Fehlern haben, direkt aussortiert werden. Sie werden keiner weiteren Kontrolle unterzogen.

Kugeln mit einer Form ohne Fehler

$2000\cdot \mathrm{0,97}=19402000\backslash cdot\; 0\{,\}97=1940$

Kugeln mit einer Form ohne Fehler und ohne Fehler bei der Lackierung

$1940\cdot \mathrm{0,94}=\mathrm{1823,6}1940\backslash cdot\; 0\{,\}94=1823\{,\}6$

Es werden etwa 1823 Kugeln ohne Fehler erwartet.

Kugeln ohne Fehler

$3000\cdot \mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,94}=\mathrm{2735,4}3000\backslash cdot\; 0\{,\}97\backslash cdot\; 0\{,\}94=2735\{,\}4$

Kugeln mit Fehler

$3000-\mathrm{2735,4}=\mathrm{264,6}3000-2735\{,\}4=264\{,\}6$

Prozentualer Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl:

${\displaystyle \frac{261}{\mathrm{264,6}}}=\mathrm{0,9863..}\backslash dfrac\{261\}\{264\{,\}6\}=\; 0\{,\}9863..$

Der prozentuale Anteil der tatsächlichen Anzahl von der erwarteten Anzahl beträgt rund $\mathrm{98,6}\mathrm{\%}98\{,\}6\backslash \%$.

Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl

$100-\mathrm{98,6}=\mathrm{1,4}100-98\{,\}6=1\{,\}4$

Die Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl beträgt etwa $\mathrm{1,4}\mathrm{\%}1\{,\}4\; \backslash \%$.

Skizzieren des zur Tabelle passenden Graphen.

Wir wählen zwei Punkte und überprüfen die Zunahme

Wir überprüfen nun, ob bei zwei anderen Absprunghöhen mit 5 Metern Abstand die Dauer auch um 1 Sekunde zunimmt.

Koordinaten des Scheitelpunkts

Aus der Skizze lesen wir den Scheitel $S(5\mathrm{\mid }6)S(5|6)$ ab.

Die Funktion hat dann allgemein den Funktionsterm:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\cdot (\mathrm{x}-5{)}^2+6;\backslash mathrm\{f(x)=a\backslash cdot(x-5)^2+6;\backslash qquad\; \}$

Berechnen von $\mathrm{f}(0)\backslash mathrm\{f(0)\}$ zur Bestimmung von a

$\mathrm{f}(0)=\mathrm{a}\cdot (0-5{)}^2+6\Rightarrow \mathrm{f}(0)=25\mathrm{a}+6\backslash mathrm\{f(0)=a\backslash cdot(0-5)^2+6\backslash quad\backslash Rightarrow\; f(0)=25a+6\}$

Der Skizze nach muss $f(0)=1f(0)=1$ betragen. Dann gilt:

Die Funktion $\text{f}\backslash text\{f\}$ mit $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{0,2}\cdot (\mathrm{x}-5{)}^2+6\backslash mathrm\{f(x)=-0\{,\}2\; \backslash cdot(x-5)^\{2\}+6\}$, eignet sich zur Modellierung der Flugbahn von Blobber $\text{A}\backslash text\{A\}$, da der Scheitel $\text{S}\backslash text\{S\}$ und $\mathrm{f}(0)=1\backslash mathrm\{f(0)\}=1$ mit dem Funktionsgraphen von $\mathrm{f}(\mathrm{x})\backslash mathrm\{f(x)\}$ übereinstimmen.

Umwandeln von $\mathrm{f}(\mathrm{x})\backslash mathrm\{f(x)\}$ in die allgemeine Form:

• auflösen der Klammer:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{0,2}\cdot ({\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+25)+6\backslash mathrm\{f(x)=-0\{,\}2\backslash cdot(x^2-10x+25)+6\}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{0,2}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-5+6\backslash mathrm\{f(x)=-0\{,\}2x^2+2x-5+6\}$

• zusammenfassen:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{0,2}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1\backslash mathrm\{f(x)=-0\{,\}2x^2+2x+1\}$

$\backslash rule\{10cm\}\{0.5mm\}$

$ff$ und $gg$ sind identisch: $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$

Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Blobber $\text{A}\backslash text\{A\}$ ist etwa $\mathrm{10,5}10\{,\}5$ Meter weit geflogen.

(${\mathrm{x}}_2\backslash mathrm\{x\_2\}$ scheidet als Lösung aus, da die Flugweite nicht negativ sein kann)

Zum Vergleichen der Flugbahnen von $ff$ und $hh$, bringen wir $hh$ auch in die Scheitelpunktform.

Scheitelpunktform bestimmen:

Also ist $f(x)=-\mathrm{0,2}\cdot (x-5{)}^2+6f(x)=-0\{,\}2\; \backslash cdot(x-5)^\{2\}+6$ und $h(x)=-\mathrm{0,28}{(x-5)}^2+8h(x)=-0\{,\}28\backslash left(x-5\backslash right)^2+8$. Der Graph von $ff$ hat den Scheitelpunkt $S(5\mathrm{\mid }6)S(5|6)$ und $hh$ hat den Scheitelpunkt $S(5\mathrm{\mid }8)S(5|8)$.

Daraus ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede:

Mögliche Gemeinsamkeiten:

• Die Flugbahnen sind beides Parabeln.

• Beide Flugbahnen haben ihren höchsten Punkt nach $55$ Metern.

Mögliche Unterschiede:

• Der Höchste Punkt von Blobber A ist $66$ Meter hoch. Der höchste Punkt von Blobber B ist $88$ Meter hoch.

• Blobber A hat den Streckungsfaktor $-\mathrm{0,2}-0\{,\}2$ und Blobber B den Streckungsfaktor $-\mathrm{0,28}-0\{,\}28$. Dadurch ist die Flugbahn von B am Anfang steiler.

Für deine Lösung reicht natürlich eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied.

Wir setzen die Gleichung "= 15":

Mithilfe der Mitternachtsformel untersuchen wir die Diskriminante:

$D={\mathrm{2,8}}^2-4\cdot (-\mathrm{0,28})\cdot (-14)=-\mathrm{7,84}D=2\{,\}8^2-4\backslash cdot\; (-0\{,\}28)\backslash cdot\; (-14)=-7\{,\}84$

Es gilt: , demnach hat die Gleichung keine Lösung. Anders formuliert, hat die Gleichung $h(x)=15h(x)=15$ keine Lösung, weshalb die Funktion nie den Wert 15 annimmt.

Eine Flughöhe von 15 Metern wird also bei $G_{h}G\_h$ nicht überschritten.

Berechnung der Länge der Hypotenuse

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

in dem gezeigten Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$ gilt: $\mathrm{a}=\mathrm{b}=3\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{a=b=3\backslash \; cm\}$

Setze $33$ in die Formel ein und berechne die Hypotenuse $\mathbf{\text{c}}\mathrm{.}\backslash textbf\{c\}.$

$\mathrm{c}=\sqrt{3^2+3^2}\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \mathrm{c}=\sqrt{18}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{c=\backslash sqrt\{3^2+3^2\}\backslash \; cm\backslash quad\backslash Rightarrow\; c=\backslash sqrt\{18\}\backslash \; cm\}$

$\mathrm{c}\approx \mathrm{4,243}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{c\backslash approx4\{,\}243\backslash \; cm\}$

Die Länge der Hypotenuse von Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$ beträgt ca. $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4,243}\mathrm{c}\mathrm{m}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{4\{,\}243\backslash \; cm\}\}$

Skizze der Figur

Es können $88$ Dreiecke gezeichnet werden, ohne, dass sie sich überschneiden.

Begründung

Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, das bedeutet die Basiswinkel

betragen ${45}^{\circ }45^\backslash circ$. Ein Vollkreis hat ${360}^{\circ }360^\backslash circ$. Die Anzahl der Dreiecke ist dann: ${\displaystyle \frac{360}{45}}=8.\backslash dfrac\{360\}\{45\}=8.$

Siehe Skizze.

Skizze der Figur

Berechnen der Hypotenuse von Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$

${\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2}\Rightarrow {\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\sqrt{2{\mathrm{a}}^2}\backslash mathrm\{H\_\{\{D\}\_\{1\}\}=\backslash sqrt\{a^2+a^2\}\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; \backslash mathrm\{H\_\{D\_1\}=\backslash sqrt\{2a^2\}\}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\mathrm{a}\sqrt{2}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{H\_\{D\_1\}=a\backslash sqrt\{2\}\}\}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_1$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{a}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{D\_1\}=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; a\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; A\_\{D\_1\}=\backslash dfrac\{a^2\}\{2\}\}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}=\frac{1}{2}\cdot {\mathrm{a}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{A\_\{D\_1\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a^2\}\}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks ${\text{D}}_2\backslash text\{D\}\_\{2\}$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}\cdot \mathrm{a}\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{1}{\cancel{2}}}\cdot \cancel{2}{\mathrm{a}}^2\backslash mathrm\{A\_\{D\_2\}=\backslash dfrac\{a\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; a\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; A\_\{D\_2\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cancel\{2\}\}\backslash cdot\; \backslash cancel\{2\}a^2\}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\mathrm{a}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{A\_\{D\_2\}=a^2\}\}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_1$ beträgt $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot {\mathrm{a}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a^2\}\}$,

der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_2\backslash text\{D\}\_2$ beträgt $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{a}}^2}}\mathrm{.}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{a^2\}\}.$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_2\backslash text\{D\}\_\{2\}$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$.

Die Flächeninhalte der Dreiecke in dem Muster sind ein Vielfaches von $\mathrm{4,5}4\{,\}5$.

$250250$ ist nicht ohne Rest durch $\mathrm{4,5}4\{,\}5$ teilbar.

$250:\mathrm{4,5}=55,\bar{5}250:4\{,\}5=55,\backslash overline\{5\}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$

Die Fläche des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$berechnet sich:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}=\mathrm{4,5}\cdot 2^7=576\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{D\_8\}=4\{,\}5\backslash cdot2^7=576\backslash \; cm^2\}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$

Die Kathete eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2}{2}}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{2\cdot {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}}\backslash mathrm\{A\_\{D\_8\}=\backslash dfrac\{a^2\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; a=\backslash sqrt\{2\backslash cdot\; A\_\{D\_8\}\}\}\backslash quad$ einsetzen der Zahlenwerte

$\mathrm{a}=\sqrt{2\cdot 576\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt\{2\backslash cdot\; 576\backslash \; cm^2\}\}$

$\mathrm{a}\approx \mathrm{33,94}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{a\backslash approx33\{,\}94\backslash \; cm\}$

Da die Länge der Kathete des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$ ca. $\mathrm{33,94}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{33\{,\}94\backslash \; cm\}$, die längere Seite

eines DIN-A4-Blatts aber nur $\mathrm{29,7}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{29\{,\}7\backslash \; cm\}$ beträgt, ist es nicht möglich das Dreieck ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$

aus einem einzigen DIN-A4-Blatt auszuschneiden.