Berechnung der Länge der Hypotenuse

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

in dem gezeigten Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$ gilt: $\mathrm{a}=\mathrm{b}=3\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{a=b=3\backslash \; cm\}$

Setze $33$ in die Formel ein und berechne die Hypotenuse $\mathbf{\text{c}}\mathrm{.}\backslash textbf\{c\}.$

$\mathrm{c}=\sqrt{3^2+3^2}\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \mathrm{c}=\sqrt{18}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{c=\backslash sqrt\{3^2+3^2\}\backslash \; cm\backslash quad\backslash Rightarrow\; c=\backslash sqrt\{18\}\backslash \; cm\}$

$\mathrm{c}\approx \mathrm{4,243}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{c\backslash approx4\{,\}243\backslash \; cm\}$

Die Länge der Hypotenuse von Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$ beträgt ca. $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4,243}\mathrm{c}\mathrm{m}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{4\{,\}243\backslash \; cm\}\}$

Skizze der Figur

Es können $88$ Dreiecke gezeichnet werden, ohne, dass sie sich überschneiden.

Begründung

Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, das bedeutet die Basiswinkel

betragen ${45}^{\circ }45^\backslash circ$. Ein Vollkreis hat ${360}^{\circ }360^\backslash circ$. Die Anzahl der Dreiecke ist dann: ${\displaystyle \frac{360}{45}}=8.\backslash dfrac\{360\}\{45\}=8.$

Siehe Skizze.

Skizze der Figur

Berechnen der Hypotenuse von Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$

${\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2}\Rightarrow {\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\sqrt{2{\mathrm{a}}^2}\backslash mathrm\{H\_\{\{D\}\_\{1\}\}=\backslash sqrt\{a^2+a^2\}\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; \backslash mathrm\{H\_\{D\_1\}=\backslash sqrt\{2a^2\}\}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{H}}_{{\mathrm{D}}_1}=\mathrm{a}\sqrt{2}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{H\_\{D\_1\}=a\backslash sqrt\{2\}\}\}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_1$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{a}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{D\_1\}=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; a\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; A\_\{D\_1\}=\backslash dfrac\{a^2\}\{2\}\}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_1}=\frac{1}{2}\cdot {\mathrm{a}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{A\_\{D\_1\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a^2\}\}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks ${\text{D}}_2\backslash text\{D\}\_\{2\}$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}\cdot \mathrm{a}\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{1}{\cancel{2}}}\cdot \cancel{2}{\mathrm{a}}^2\backslash mathrm\{A\_\{D\_2\}=\backslash dfrac\{a\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; a\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; A\_\{D\_2\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cancel\{2\}\}\backslash cdot\; \backslash cancel\{2\}a^2\}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_2}={\mathrm{a}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{A\_\{D\_2\}=a^2\}\}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_1$ beträgt $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot {\mathrm{a}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a^2\}\}$,

der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_2\backslash text\{D\}\_2$ beträgt $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{a}}^2}}\mathrm{.}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{a^2\}\}.$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_2\backslash text\{D\}\_\{2\}$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ${\text{D}}_1\backslash text\{D\}\_\{1\}$.

Die Flächeninhalte der Dreiecke in dem Muster sind ein Vielfaches von $\mathrm{4,5}4\{,\}5$.

$250250$ ist nicht ohne Rest durch $\mathrm{4,5}4\{,\}5$ teilbar.

$250:\mathrm{4,5}=55,\bar{5}250:4\{,\}5=55,\backslash overline\{5\}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$

Die Fläche des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$berechnet sich:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}=\mathrm{4,5}\cdot 2^7=576\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{D\_8\}=4\{,\}5\backslash cdot2^7=576\backslash \; cm^2\}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$

Die Kathete eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2}{2}}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{2\cdot {\mathrm{A}}_{{\mathrm{D}}_8}}\backslash mathrm\{A\_\{D\_8\}=\backslash dfrac\{a^2\}\{2\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; a=\backslash sqrt\{2\backslash cdot\; A\_\{D\_8\}\}\}\backslash quad$ einsetzen der Zahlenwerte

$\mathrm{a}=\sqrt{2\cdot 576\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt\{2\backslash cdot\; 576\backslash \; cm^2\}\}$

$\mathrm{a}\approx \mathrm{33,94}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{a\backslash approx33\{,\}94\backslash \; cm\}$

Da die Länge der Kathete des Dreiecks ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$ ca. $\mathrm{33,94}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{33\{,\}94\backslash \; cm\}$, die längere Seite

eines DIN-A4-Blatts aber nur $\mathrm{29,7}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{29\{,\}7\backslash \; cm\}$ beträgt, ist es nicht möglich das Dreieck ${\text{D}}_8\backslash text\{D\}\_8$

aus einem einzigen DIN-A4-Blatt auszuschneiden.