Berechnung der Länge der Hypotenuse

Der Satz des Pythagoras lautet:

$\mathrm{c^2=a^2+b^2}$

in dem gezeigten Dreieck $\text{D}_{1}$ gilt: $\mathrm{a=b=3\ cm}$

Setze $3$ in die Formel ein und berechne die Hypotenuse $\textbf{c}.$

$\mathrm{c=\sqrt{3^2+3^2}\ cm\quad\Rightarrow c=\sqrt{18}\ cm}$

$\mathrm{c\approx4{,}243\ cm}$

Die Länge der Hypotenuse von Dreieck $\text{D}_{1}$ beträgt ca. $\boxed{\mathrm{4{,}243\ cm}}$

Skizze der Figur

Es können $8$ Dreiecke gezeichnet werden, ohne, dass sie sich überschneiden.

Begründung

Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, das bedeutet die Basiswinkel

betragen $45^\circ$. Ein Vollkreis hat $360^\circ$. Die Anzahl der Dreiecke ist dann: $\dfrac{360}{45}=8.$

Siehe Skizze.

Skizze der Figur

Berechnen der Hypotenuse von Dreieck $\text{D}_{1}$

$\mathrm{H_{{D}_{1}}=\sqrt{a^2+a^2}}\quad\Rightarrow \mathrm{H_{D_1}=\sqrt{2a^2}}$

$\boxed{\mathrm{H_{D_1}=a\sqrt{2}}}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck $\text{D}_1$

$\mathrm{A_{D_1}=\dfrac{a\cdot a}{2}\quad\Rightarrow A_{D_1}=\dfrac{a^2}{2}}$

$\boxed{\mathrm{A_{D_1}=\dfrac{1}{2}\cdot a^2}}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks $\text{D}_{2}$

$\mathrm{A_{D_2}=\dfrac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow A_{D_2}=\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}a^2}$

$\boxed{\mathrm{A_{D_2}=a^2}}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_1$ beträgt $\boxed{\mathrm{\dfrac{1}{2}\cdot a^2}}$,

der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_2$ beträgt $\boxed{\mathrm{a^2}}.$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_{2}$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{D}_{1}$.

Die Flächeninhalte der Dreiecke in dem Muster sind ein Vielfaches von $4{,}5$.

$250$ ist nicht ohne Rest durch $4{,}5$ teilbar.

$250:4{,}5=55,\overline{5}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$

Die Fläche des Dreiecks $\text{D}_8$berechnet sich:

$\mathrm{A_{D_8}=4{,}5\cdot2^7=576\ cm^2}$

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $\text{D}_8$

Die Kathete eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich:

$\mathrm{A_{D_8}=\dfrac{a^2}{2}\quad\Rightarrow a=\sqrt{2\cdot A_{D_8}}}\quad$ einsetzen der Zahlenwerte

$\mathrm{a=\sqrt{2\cdot 576\ cm^2}}$

$\mathrm{a\approx33{,}94\ cm}$

Da die Länge der Kathete des Dreiecks $\text{D}_8$ ca. $\mathrm{33{,}94\ cm}$, die längere Seite

eines DIN-A4-Blatts aber nur $\mathrm{29{,}7\ cm}$ beträgt, ist es nicht möglich das Dreieck $\text{D}_8$

aus einem einzigen DIN-A4-Blatt auszuschneiden.