Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Berechne $P(X=25)$:

$P(X=25)=\text{binompdf(600{,}0.03{,}25)}\approx0{,}0232$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $2{,}3\;\%$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Berechne $P(X\leq 20)$:

$P(X\leq 20)=\text{binomcdf(600{,}0.03{,}0,20)}\approx0{,}7732$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $77{,}3\;\%$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Berechne $P(15<X< 30)$:$P(15<X< 30)=P(16\leq X\leq 29)=\text{binomcdf(600{,}0.03{,}16{,}29)}\approx0{,}7117$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $71{,}2\;\%$.

Die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang

Der Term stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass von $600$ zufällig ausgewählten

Leiterplatten $550$ oder $551$ fehlerfrei sind.

Die Kosten, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler $2$ gefunden wird

Die Kosten betragen $12\;€+3\;€=15\;€$.

Die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren betragen $12{,}60\;€$ pro Leiterplatte

Zu erwartende Kosten pro Leiterplatte:

Es fallen $12\;€$ für den Fehler $1$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}8$ und $15\;€$ für den Fehler $2$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}2$ an:

$0{,}8\cdot 12\;€ + 0{,}2 \cdot 15\;€ = 12{,}60\;€$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, beträgt $60 \;\%$

Fehler $1$ wird während des Schnelltests in $50 ~\%$ der Fälle gefunden, in denen

Fehler $1$ tatsächlich vorliegt, in allen anderen Fällen nicht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird, beträgt $0{,}8\cdot 0{,}5=0{,}4$.

Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ nicht gefunden wird, ist dann

$1 − 0{,}4 = 0{,}6$.

Bestimmen Sie unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler $1$ nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist

Es ist $F$: Fehler $1$ liegt vor und wird gefunden und $\overline{F}$: Fehler $1$ wird nicht gefunden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird, beträgt $0{,}8\cdot 0{,}5=0{,}4$ und es ist $P(\overline{F})=0{,}6$.

Gesucht ist $P_{\overline{F}}(F)=\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}5}{0{,}6}=\dfrac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist, beträgt $\dfrac{2}{3}$.

Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest und Standardverfahren verringern sich tatsächlich

In Aufgabe c) waren die zu erwartende Kosten pro Leiterplatte berechnet worden:

$0{,}8\cdot 12\;€ + 0{,}2 \cdot 15\;€ = 12{,}60\;€$

Der Schnelltest kostet $2\;€$, allerdings wird ein vorhandener Fehler $1$ nur in $50\;\%$ der Fälle gefunden.

Zu den Kosten aus Aufgabe c) kommen die $2\;€$ hinzu und die Kosten für den Fehler $1$ treten nur zu $\textcolor{cc0000}{50\;\%}$ auf.

Also erhält man: $2\;€+\textcolor{cc0000}{0{,}5}\cdot 0{,}8\cdot 12\;€ + 0{,}2 \cdot 15\;€ = 9{,}80\;€$

Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest betragen $9{,}80\;€$ gegenüber $12{,}60 \;€$ für das Standardverfahren.

Die zu erwartenden Kosten haben sich also verringert.