Die Kletterwand hat die Form eines Parallelogramms, ist aber nicht rechteckig

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}10\\5\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\7\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}9\\5{,}5\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\7{,}5\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$

Damit ist $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, d.h. diese gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. Die Länge muss gar nicht extra ausgerechnet werden, da die Vektoren identisch sind.

Weiterhin ist

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5\\7{,}5\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\7\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0{,}5\\3\end{pmatrix}$ und

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}9\\5{,}5\\8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0{,}5\\3 \end{pmatrix}$

Also ist auch das zweite Paar gegenüberliegender Seiten parallel und gleich lang, es handelt sich also um ein Parallelogramm oder als Spezialfall um ein Rechteck.

Prüfe, ob es im Punkt $A$ einen rechten Winkel gibt.

Das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ ist:

Es gibt keinen rechten Winkel im Punkt $A$, d.h. die Kletterwand hat die Form eines Parallelogramms, ist aber nicht rechteckig.

Der Flächeninhalt des unteren Teils ist größer als der des oberen Teils

Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

In der Abbildung eingezeichnet ist die horizontale Linie, die den Punkt $D$ enthält.

Weiterhin ist eine Linie eingezeichnet, die durch die Punkte $B$ und $D$ verläuft und die Kletterwand in zwei gleich große Flächen einteilt. Da die $x_3$-Koordinate von $D$ größer als die $x_3$-Koordinate von $B$ ist, verläuft die horizontale Linie oberhalb der Linie, die durch die Punkte $B$ und $D$ verläuft.

Damit ist der Flächeninhalt des unteren Teils größer als der des oberen Teils.

Darstellung der beiden Masten und das Seil in einem dreidimensionalen Koordinatensystem

Die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten

Es ist der Vektor $\overrightarrow{F_1F_2}=\overrightarrow{OF_2}-\overrightarrow{OF_1}=\begin{pmatrix}2{,}5\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\6\\0\end{pmatrix}$und sein Betrag ist $\left|\overrightarrow{F_1F_2}\right|=\sqrt{2{,}5^2+6^2+0^2}=\sqrt{42{,}25}=6{,}5$.

Dann folgt für die Neigung des Seils:

$\text{Neigung}=\dfrac{\text{Höhendifferenz}}{\text{Länge der horizontalen Strecke}}=\dfrac{6-4{,}7}{6{,}5}=0{,}2$

Die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten beträgt $20\;\%$.

Ermitteln Sie den Abstand der beiden Punkte

Das obere Seil verläuft entlang der Geraden $h:\;\vec x=\begin{pmatrix}-1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$.

Die $x_2$-Koordinate dieses Seils ist $x_2=3$.

Das Stahlseil hat die Gleichung:

Die $x_2$-Koordinate des Stahlseils ist $x_2=6\cdot r$.

Beide $x_2$-Koordinaten müssen für die beschriebenen Punkte gleich sein:

Die Höhe des Stahlseils ($x_3$-Koordinate von $g$) ist dann:

Die Höhe des oberen Seils ($x_3$-Koordinate von $h$) ist $x_3=8$.

Die Differenz der beiden $x_3$-Koordinaten ergibt den gesuchten Abstand der beiden Punkte.

Der Abstand der beiden Punkte beträgt $8-5{,}35=2{,}65\;\text{m}$.