Teil 2, Stochastik 2 - lernen mit Serlo!

Für eine Zufallsgröße $X$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit $a, b \in ℝ$ durch folgende Tabelle vollständig gegeben:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P (X = x)$	$a$	$2 b$	$b$	$0,1$	$0,1$	$0,04$

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$ , wenn der Erwartungswert von $X$ gleich $1,7$ ist.
[ Teilergebnis: $b = 0,2$ ]
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Gleichungen aufstellen
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt $1$ :
$\begin{array}{l} I) a + 2 b + b + 0,1 + 0,1 + 0,04 = 1 \\ I) a + 3 b + 0,24 = 1 \\ I) a + 3 b = 0,76 \end{array}$
Der Erwartungswert ist $1,7$ :
$\begin{array}{l} I I) 0 \cdot a + 1 \cdot 2 b + 2 \cdot b + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,04 = 1,7 \\ I I) 4 b + 0,9 = 1,7 \\ I I) 4 b = 0,8 \end{array}$
Gleichungssystem lösen
Löse die zweite Gleichung nach $b$ auf:
$4 b$ $=$ $0,8$ $: 4$
$b$ $=$ $0,2$
Setze $b$ in die erste Gleichung ein:
$a + 3 \cdot 0,2$ $=$ $0,76$
$a + 0,6$ $=$ $0,76$ $- 0,6$
$a$ $=$ $0,16$
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Nutze aus, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben muss, und stelle eine Gleichung auf.
Stelle eine Gleichung auf, die den Erwartungswert in Abhängigkeit von den Parametern beschreibt.
Löse das Gleichungssystem.
Die Blumensorte Tulpe erzeugt während ihres Wachstums sogenannte Tochterzwiebeln, die ihrerseits wieder zur Entstehung weiterer Tulpen führen. Die aufgeführte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den unter Aufgabe a) bestimmten Werten für $a$ und $b$ gibt an, welche Anzahl von Tochterzwiebeln mit welcher Wahrscheinlichkeit auftritt.
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
Varianz und Standardabweichung berechnen
Du weißt bereits, dass der Erwartungswert $μ = 1,7$ ist. Verwende außerdem, dass $a = 0,16$ und $b = 0,2$ ist.
Berechne die Varianz mit der Verschiebungsregel $E (X^{2}) - μ^{2}$ :
$V a r (X)$ $=$ $0^{2} \cdot 0,16 + 1^{2} \cdot 2 \cdot 0,2 + 2^{2} \cdot 0,2 + 3^{2} \cdot 0,1 + 4^{2} \cdot 0,1 + 5^{2} \cdot 0,04 - {1,7}^{2}$
$=$ $4,7 - 2,89$
$=$ $1,81$
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:
$σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{1,81} \approx 1,35$
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bilde die Sigma-Umgebung:
$μ - σ \approx 0,35$
$μ + σ \approx 3,05$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ zwischen $0,35$ und $3,05$ liegt:
$P (0,35 < X < 3,05) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0,4 + 0,2 + 0,1 = 0,7$
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Der Erwartungswert ist bereits bekannt. Berechne noch die Varianz und die Standardabweichung.
Bestimme die Sigma-Umgebung, indem du die Standardabweichung vom Erwartungswert abziehst und dazu addierst.
Addiere alle Wahrscheinlichkeiten der Zufallswerte, die innerhalb der Sigma-Umgebung liegen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$a + 3 \cdot 0,2$	$=$	$0,76$
$a + 0,6$	$=$	$0,76$	$- 0,6$
$a$	$=$	$0,16$

$V a r (X)$	$=$	$0^{2} \cdot 0,16 + 1^{2} \cdot 2 \cdot 0,2 + 2^{2} \cdot 0,2 + 3^{2} \cdot 0,1 + 4^{2} \cdot 0,1 + 5^{2} \cdot 0,04 - {1,7}^{2}$
	$=$	$4,7 - 2,89$
	$=$	$1,81$

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