Teil 2 Stochastik 1 - lernen mit Serlo!

Am Parkplatz eines großen Einkaufszentrums wurde im Rahmen einer Bachelor-Arbeit eine lang angelegte Studie zum Laden von E-Autos an den dort vorhandenen Ladesäulen durchgeführt. Diese lieferte folgende Ergebnisse: $80 \%$ der Ladevorgänge erfolgen während der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen. Alle anderen Besitzer verbringen die Ladezeit in den umliegenden kleineren Geschäften, Bars, Cafés oder im Biergarten. Zudem wurde festgestellt, dass 5 $\%$ aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind.

Bestimmen Sie, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$\mathrm{E}_{4}$ : „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

$\mathrm{E}_{5}$ : „Unter 50 Ladevorgängen erfolgen mehr als neun aber weniger als 18 in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

$\mathrm{E}_{6}$ : „Unter 100 auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Die Länge der Bernoulli-Kette ist $n=11$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Besitzer im Einkaufszentrum ist, ist $p=0{,}8$
Es sollen genau $k=9$ Personen sein

Insgesamt also:

$P(k=9)=B(11;0{,}8;9)=\binom{11}9\cdot 0{,}8^9\cdot0{,}2^3\approx 0{,}29528$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Die Länge der Bernoulli-Kette ist $n=50$
Die Wahrscheinlichkeit ist diesmal $p=0{,}2$
Es geht nicht um genau k Treffer, sondern um $9<k<18$ . Du brauchst eine kumulierte Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle P\left(9<k<18\right)$	$=$
	↓	Da es sich um weniger als 18 Treffer handelt, verwende als obere Grenze "höchstens 17 Treffer".
	$=$	$\displaystyle P\left(9<k\le17\right)$
	↓	Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 9 aber höchstens 17 Treffer bedeutet, dass von der kumulierten Wahrscheinlichkeit von 0 bis 17 Treffer die Wahrscheinlichkeit von 0 bis 9 Treffer abgezogen werden muss:
	$=$	$\displaystyle P\left(k\le17\right)-P\left(k\le9\right)$
	$=$	$\displaystyle F\left(50;0{,}2;17\right)-F\left(50;0{,}2;9\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}99374-0{,}44374$
	$=$	$\displaystyle 0{,}55$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$

"Mehr Autos als nach der Studie zu erwarten wären" bedeutet, dass die Anzahl der entsprechenden Autos größer ist als der Erwartungswert.

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist $\mu=n\cdot p=100\cdot 0{,}05=5$

Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 5 Treffer bekommst du über das Gegenereignis:

$\displaystyle P\left(E_6\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(k>5\right)$
	↓	Verwende das Gegenereignis
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(k\le5\right)$
	↓	Es handelt sich um die kumulierte Wahrscheinlichkeit
	$=$	$\displaystyle 1-\ F\left(100;0{,}05;5\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}61600$
	$=$	$\displaystyle 0{,}384$

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Wahrscheinlichkeit von E4E_4E4​

Wahrscheinlichkeit von E5E_5E5​

Wahrscheinlichkeit von E6E_6E6​

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$