Gleichung von $L$ in Parameterform

$L_{CGF}:\;\vec x=\overrightarrow{OC}+r\cdot \overrightarrow{CF}+s\cdot \overrightarrow{CG}$

$L_{CGF}:\;\vec x=\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}8\\4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}\right)+s\cdot \left(\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}\right)$

$L_{CGF}:\;\vec x=\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}$

Nachweis, dass auch $S$ in $L$ liegt

$S\in L:$

Aus Gleichung $\mathrm{(I)}$ folgt $s=1$ und aus Gleichung $\mathrm{ (II)}$ folgt $r=1$.

Mit diesen beiden Werten ist auch Gleichung $\mathrm{ (III)}$ erfüllt:

$12=1\cdot 6+1\cdot 6\;\checkmark$

Damit liegt auch der Punkt $S$ in der Ebene $L$.

Das Viereck $CGSF$ ist eine Raute

Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.

$\overrightarrow{CF}=\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{CF}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+6^2}=\sqrt{52}$

$\overrightarrow{CG}=\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{CG}\right|=\sqrt{(-4)^2+0^2+6^2}=\sqrt{52}$

$\overrightarrow{FS}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\4\\6\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}=\overrightarrow{CG}$

$\overrightarrow{GS}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}=\overrightarrow{CF}$

Also sind alle 4 Seiten gleich lang und das Viereck $CGSF$ ist eine Raute.

Die Größe des Innenwinkels des Vierecks $CGSF$ im Punkt $S$

Für den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{SF}$ und $\overrightarrow{SG}$ gilt:

$\cos \varphi=\left(\dfrac{\overrightarrow{SF} \circ\overrightarrow {SG}}{\left|\overrightarrow {SF}\right|\cdot\left|\overrightarrow {SG}\right|}\right)$

Dabei ist $\overrightarrow{SF}=\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{SG}=\begin{pmatrix}0\\4\\-6\end{pmatrix}$

Die Beträge der beiden Vektoren sind gleich $\sqrt{52}$.

Dann folgt:

$\displaystyle \varphi=\arccos\left(\dfrac{36}{52}\right)\approx46{,}2^\circ$

Die Größe des Innenwinkels des Vierecks $CGSF$ im Punkt $S$ beträgt rund $46^\circ$.

Flächeninhalt der Dachflächen

Die Dachflächen bestehen aus vier Rauten.

Der Flächeninhalt einer Raute ist die Hälfte des Produkts der Länge beider Diagonalen: $A_{Raute}=\frac12\cdot e\cdot f$

$\Rightarrow\;A_{ges}=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{FG}\right|\cdot \left|\overrightarrow{CS}\right|$

$\overrightarrow{FG}=\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$

$\left|\overrightarrow{FG}\right|=\sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}$

$\overrightarrow{CS}=\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\12\end{pmatrix}$

$\left|\overrightarrow{CS}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+12^2}=\sqrt{176}$

Dann ist:

$A_{ges}=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{32}\cdot \sqrt{176}=2\cdot\sqrt{16\cdot 2\cdot8\cdot22}=2\cdot16\cdot\sqrt{22}=32\cdot\sqrt{22}\approx150\;\text{m}^2$

Der gesamte Flächeninhalt der Dachflächen beträgt rund $150\;\text{m}^2$.

Verhältnis des Abstands von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ zum Abstand von $F$ und $G$

Die Dreiecke $SQ_1Q_2$ und $SFG$ haben bei $S$ einen gemeinsamen Innenwinkel.

Die Gerade $Q_1Q_2$ ist parallel zur Geraden $FG$.

Begründung: Die Punkte $Q_1$ und $Q_2$ haben die gleichen z-Koordinaten ($z=6$) und ebenso haben die Punkte $F$ und $G$ die gleichen z-Koordinaten ($z=0$).

Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich.

Die Strecke $\overline{SQ_1}$ ist doppelt so lang wie die Strecke $\overline{SF}$, da die z-Koordinate von $S$ gleich $12$ und die z-Koordinaten von $F$ und $G$ gleich $6$ sind.

Folglich ist der Abstand von $Q_1$ und $Q_2$ doppelt so groß wie der Abstand von $F$ und $G$.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Koordinaten von $R$

Die Mitte der Strecke $\overline{EG}$ ist der Punkt $M$.

$\vec m =\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OG}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}4\\0\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\6\end{pmatrix}$

Der Punkt $M$ hat die Koordinaten $M(4|4|6)$.

Für den Vektor $\overrightarrow{OR}$ gilt:

$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SF}$

Weiterhin muss gelten (kürzester Abstand):

$\left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OM}\right)\circ\overrightarrow{SF}=0\;\Rightarrow\;\left(\overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SF}-\overrightarrow{OM}\right)\circ\overrightarrow{SF}=0$

$\Rightarrow\;\left(\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\4\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=0$

Vektoren zusammenfassen:

$\Rightarrow\;\left(\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=0$

Skalarprodukt berechnen:

$-36+t\cdot(16+36)=0\;\Rightarrow\;t=\dfrac{36}{52}=\dfrac{9}{13}$

Mit $t=\dfrac{9}{13}$ erhält man die Koordinaten des Punktes $R$:

$\overrightarrow{OR}=\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}+\dfrac{9}{13}\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+\frac{36}{13}\\4+0\\12-\frac{54}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{88}{13}\\4\\\frac{102}{13}\end{pmatrix}$

Die Koordinaten des Punktes $R$ lauten $R\left(\frac{88}{13}|4|\frac{102}{13}\right)$