Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms.

Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte $B (8 ∣ 0 ∣ 0), C (8 ∣ 8 ∣ 0), E (4 ∣ 0 ∣ 6), F (8 ∣ 4 ∣ 6), G (4 ∣ 8 ∣ 6)$ und $S (4 ∣ 4 ∣ 12)$ sowie $A, D$ und $H$ dargestellt.

Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität.

Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

Die Ebene $L$ enthält die Punkte $C, G$ und $F$ .

Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch $S$ in $L$ liegt. (4BE)

Weisen Sie nach, dass das Viereck $C G S F$ eine Raute ist. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Das Viereck $C G S F$ ist eine Raute
Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.
$\overrightarrow{CF}=\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{CF}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+6^2}=\sqrt{52}$
$\overrightarrow{CG}=\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{CG}\right|=\sqrt{(-4)^2+0^2+6^2}=\sqrt{52}$
$\overrightarrow{FS}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\4\\6\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}=\overrightarrow{CG}$
$\overrightarrow{GS}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}=\overrightarrow{CF}$
Also sind alle 4 Seiten gleich lang und das Viereck $C G S F$ ist eine Raute.
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Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Berechne die entsprechenden Seitenlängen.

Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Vierecks $C G S F$ im Punkt $S$ sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen. (5BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen

Die Größe des Innenwinkels des Vierecks $C G S F$ im Punkt $S$

Für den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{SF}$ und $\overrightarrow{SG}$ gilt:

$\cos \varphi=\left(\dfrac{\overrightarrow{SF} \circ\overrightarrow {SG}}{\left|\overrightarrow {SF}\right|\cdot\left|\overrightarrow {SG}\right|}\right)$

Dabei ist $\overrightarrow{SF}=\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{SG}=\begin{pmatrix}0\\4\\-6\end{pmatrix}$

Die Beträge der beiden Vektoren sind gleich $\sqrt{52}$ .

Dann folgt:

$\displaystyle \cos \varphi$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{SF} \circ\overrightarrow {SG}}{\left\|\overrightarrow {SF}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow {SG}\right\|}$
	↓	Setze die bekannten Vektoren und Beträge ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix}0\\4\\-6\end{pmatrix}}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{52}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{52}$

$\displaystyle \varphi=\arccos\left(\dfrac{36}{52}\right)\approx46{,}2^\circ$

Die Größe des Innenwinkels des Vierecks $C G S F$ im Punkt $S$ beträgt rund $46^\circ$ .

Flächeninhalt der Dachflächen

Die Dachflächen bestehen aus vier Rauten.

Der Flächeninhalt einer Raute ist die Hälfte des Produkts der Länge beider Diagonalen: $A_{Raute}=\frac12\cdot e\cdot f$

$\Rightarrow\;A_{ges}=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{FG}\right|\cdot \left|\overrightarrow{CS}\right|$

$\overrightarrow{FG}=\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$

$\left|\overrightarrow{FG}\right|=\sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}$

$\overrightarrow{CS}=\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\12\end{pmatrix}$

$\left|\overrightarrow{CS}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+12^2}=\sqrt{176}$

Dann ist:

$A_{ges}=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{32}\cdot \sqrt{176}=2\cdot\sqrt{16\cdot 2\cdot8\cdot22}=2\cdot16\cdot\sqrt{22}=32\cdot\sqrt{22}\approx150\;\text{m}^2$

Der gesamte Flächeninhalt der Dachflächen beträgt rund $150\;\text{m}^2$ .

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Die Gerade $q_{1}$ verläuft durch $S$ und $F$ , die Gerade $q_{2}$ durch $S$ und $G$ . Die beiden Geraden schneiden die $x_{1} x_{2}$ -Ebene in den Punkten $Q_{1}$ bzw. $Q_{2}$ .
Geben Sie das Verhältnis des Abstands von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ zum Abstand von $F$ und $G$ an.
Begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ zu berechnen. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz oder Vierstreckensatz, Ähnlichkeit
Verhältnis des Abstands von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ zum Abstand von $F$ und $G$
Die Dreiecke $S Q_{1} Q_{2}$ und $S F G$ haben bei $S$ einen gemeinsamen Innenwinkel.
Die Gerade $Q_{1} Q_{2}$ ist parallel zur Geraden $F G$ .
Begründung: Die Punkte $Q_{1}$ und $Q_{2}$ haben die gleichen z-Koordinaten ( $z = 6$ ) und ebenso haben die Punkte $F$ und $G$ die gleichen z-Koordinaten ( $z = 0$ ).
Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich.
Die Strecke $\overline{SQ_1}$ ist doppelt so lang wie die Strecke $\overline{SF}$ , da die z-Koordinate von $S$ gleich $12$ und die z-Koordinaten von $F$ und $G$ gleich $6$ sind.
Folglich ist der Abstand von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ doppelt so groß wie der Abstand von $F$ und $G$ .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Welche Beziehung besteht zwischen den Dreiecken $S Q_{1} Q_{2}$ und $S F G$ ?
Finde einen Zusammenhang zwischen den beiden Strecken $\overline{SQ_1}$ und $\overline{SF}$ .
Zur Stabilisierung wird zwischen den durch $E$ und $G$ dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch $\overline{S F}$ dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit $R$ bezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten von $R$ . (5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Koordinaten von $R$
Die Mitte der Strecke $\overline{EG}$ ist der Punkt $M$ .
$\vec m =\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OG}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}4\\0\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\8\\6\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\6\end{pmatrix}$
Der Punkt $M$ hat die Koordinaten $M (4 ∣ 4 ∣ 6)$ .
Für den Vektor $\overrightarrow{OR}$ gilt:
$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SF}$
Weiterhin muss gelten (kürzester Abstand):
$\left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OM}\right)\circ\overrightarrow{SF}=0\;\Rightarrow\;\left(\overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SF}-\overrightarrow{OM}\right)\circ\overrightarrow{SF}=0$
$\Rightarrow\;\left(\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\4\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=0$
Vektoren zusammenfassen:
$\Rightarrow\;\left(\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=0$
Skalarprodukt berechnen:
$-36+t\cdot(16+36)=0\;\Rightarrow\;t=\dfrac{36}{52}=\dfrac{9}{13}$
Mit $t=\dfrac{9}{13}$ erhält man die Koordinaten des Punktes $R$ :
$\overrightarrow{OR}=\begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}+\dfrac{9}{13}\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+\frac{36}{13}\\4+0\\12-\frac{54}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{88}{13}\\4\\\frac{102}{13}\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Punktes $R$ lauten $R\left(\frac{88}{13}|4|\frac{102}{13}\right)$
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Die Mitte der Strecke $\overline{EG}$ ist der Punkt $M$ . Berechne $M$ .
Für den Vektor $\overrightarrow{OR}$ gilt: $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SF}$
Weiterhin steht der Vektor $\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OM}$ senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{SF}$ . Löse die dazugehörende Gleichung nach $t$ auf und berechne dann die Koordinaten des Punktes $R$ .

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$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\4\\12\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}$	$\displaystyle -\begin{pmatrix}8\\8\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\-4\\12\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle r\cdot\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}$

Aufgabe 3C

Gleichung von LLL in Parameterform

Nachweis, dass auch SSS in LLL liegt

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Das Viereck CGSFCGSFCGSF ist eine Raute

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Die Größe des Innenwinkels des Vierecks CGSFCGSFCGSF im Punkt SSS

Flächeninhalt der Dachflächen

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Verhältnis des Abstands von Q1Q_{1}Q1​ und Q2Q_{2}Q2​ zum Abstand von FFF und GGG

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Koordinaten von RRR

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Gleichung von $L$ in Parameterform

Nachweis, dass auch $S$ in $L$ liegt

Das Viereck $C G S F$ ist eine Raute

Die Größe des Innenwinkels des Vierecks $C G S F$ im Punkt $S$

Verhältnis des Abstands von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ zum Abstand von $F$ und $G$

Koordinaten von $R$