Wahrscheinlichkeit zweimal weiß zu werfen: $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Wahrscheinlichkeit zweimal grau zu werfen: $\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$

Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu werfen: $\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$

Wahrscheinlichkeit erst weiß und dann grau zu werfen: $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$

Wahrscheinlichkeit erst grau und dann weiß zu werfen: $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$

Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander verschiedene Farben zu werfen: $\dfrac{2}{9}+ \dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}\gt \dfrac{4}{9}$ Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu werfen, ist größer, als dass der Würfel zweimal hintereinander verschiedene Farben anzeigt.

$\Rightarrow$ Der Lehrer hat recht.

Bemerkung:

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedene Farben zu werfen, kannst du auch als Gegenwahrscheinlichkeit zu "zweimal die gleiche Farbe" als

$1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}$ berechnen.

Wahrscheinlichkeit weiß und dann grau zu werfen: $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$

Wahrscheinlichkeit grau und dann weiß zu werfen: $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$

Wahrscheinlichkeit grau und nochmal grau zu werfen: $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{9}$

Die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal grau zu werfen beträgt $\dfrac{8}{9}$.

Bemerkung:

Du kannst die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal grau" auch als Gegenwahrscheinlichkeit zu "zweimal weiß" berechnen.

Wahrscheinlichkeit für zweimal weiß: $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal grau: $1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$