Heft 2 - B4

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1
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Klasse 10b bekommt folgenden Arbeitsauftrag:
"Verändert den Radiergummiwürfel. Würfelt dann 500-mal und notiert die absoluten und relativen Häufigkeiten der Augenzahlen."
Jonas schneidet mit einer Schere eine Ecke ab.
Dann würfelt er mit dem Würfel 500-mal und notiert seine Ergebnisse in einer Tabelle.
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
1
55
0,110
2
58
3
88
0,176
4
0,150
5
6
110
0,220
Summe
500
1
1. Ergänze die fehlenden Werte. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Um die relative Häufigkeit deines Ergebnisses zu bestimmen, rechnest du allgemein
  Die relative Häufigkeit von 2, ergibt sich also durch
  wobei du 58 (die absolute Häufigkeit) und 500 (die Anzahl der Würfe) aus der Tabelle herausgelesen kannst.
  Für das Ergebnis "Es wird eine 4 gewürfelt" ist nur die relative Häufigkeit gegeben, durch Umstellen der obigen Gleichung ergibt sich die absolute Häufigkeit durch
  Somit bekommst du für 4 die absolute Häufigkeit:
  Es fehlt also noch die relative und absolute Häufigkeit für die Würfelzahl 5. Hier kannst du ausnutzen, dass alle absoluten Häufigkeiten addiert die Anzahl der Würfe ergeben.
  Somit ergibt sich die absolute Häufigkeit von 5 durch
  (Hierbei kannst du deine bisherigen Ergebnisse benutzen.)
  Für die relative Häufigkeit für 5, benutze die obige Formel: $\frac{114}{500}=0{,}228$
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2. Erkläre, warum es sich bei der hier vorliegenden relativen Häufigkeit nicht um ein Laplace- Experiment handelt. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Für ein Laplace- Experiment müssen unterschiedliche Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sein, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
  In diesem Fall sind für die Elementarereignisse "Es wird eine 1 gewürfelt" und "Es wird eine 6 gewürfelt" die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich, da
  Es kann sich somit nicht um ein Laplace- Experiment handeln.
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  Welche Eigenschaft muss ein Laplace- Experiment erfüllen?
2
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Auch Merle hat von ihrem Würfel ein Stück abgeschnitten und präsentiert ihre Ergebnisse.
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
1
144
0,288
2
76
0,152
3
98
0,196
4
15
0,03
5
73
0,146
6
94
0,188
Summe
500
1
Merle nimmt ihre relativen Häufigkeiten als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Der Würfel wird zweimal gewürfelt.
1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, zweimal die gleiche Zahl zu werfen, ungefähr $20 \%$ beträgt. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
  $0{,}288^2+0{,}152^2+0{,}196^2+0{,}03^2+0{,}146^2+0{,}188^2\approx0{,}202$
  Die Wahrscheinlichkeit, zweimal die gleiche Zahl zu werfen, beträgt ungefähr $20 \%$ .
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  Betrachte für jede einzelne Zahl die Wahrscheinlichkeit, dass sie zweimal hintereinander geworfen wird.
  Addiere die Wahrscheinlichkeiten
2. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal die gleiche Zahl zu werfen, ist ungefähr $20 \%$ . Merle behauptet: „Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Zahlen gewürfelt werden, ca. $80 \%$ ."
  Überprüfe, ob Merle recht hat. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Zahlen gewürfelt werden, ist das Gegenereignis zu "zweimal die gleiche Zahl werfen".
  Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt $100\%-20\%=80\%$ .
  Merle hat also recht.
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3
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Lasse stellt von seinem Würfel die Häufigkeitsverteilung in einem Säulendiagramm dar.
Entscheide, ob das Säulendiagramm von Lasse stimmen kann, und begründe deine Entscheidung. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Säulendiagramm
$0{,}15+0{,}2+0{,}25+0{,}1+0{,}25+0{,}2=1{,}15$
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist größer als 1. Das Säulendiagramm von Lasse kann also nicht stimmen.
Addiere die relativen Häufigkeiten und prüfe, ob die Summe 1 ist.
4
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Von den 25 Schülerinnen und Schülern der 10b haben acht den Würfel an einer Ecke angeschnitten. Hiervon sind fünf weiblich.
Gib im Baumdiagramm die fehlenden Beschriftungen und Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen an. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Absolute Häufigkeit
Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen eine Ecke abgeschnitten hat: $\dfrac{5}{8}$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge eine Ecke abgeschnitten hat: $\dfrac{3}{8}$
8 Schülerinnen und Schüler haben von dem Würfel eine Ecke abgeschnitten, 5 davon sind weiblich, also 3 männlich.
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Lehrer hat einen Würfel, bei dem zwei Felder weiß und vier Felder grau sind. Der Würfel wird zweimal geworfen.
Der Lehrer behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu werfen, ist größer, als dass der Würfel zweimal hintereinander verschiedene Farben anzeigt."
1. Überprüfe, ob er recht hat. (3 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
  Wahrscheinlichkeit zweimal weiß zu werfen: $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$
  Wahrscheinlichkeit zweimal grau zu werfen: $\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$
  Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu werfen: $\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$
  Wahrscheinlichkeit erst weiß und dann grau zu werfen: $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$
  Wahrscheinlichkeit erst grau und dann weiß zu werfen: $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$
  Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander verschiedene Farben zu werfen: $\dfrac{2}{9}+ \dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$
  $\dfrac{5}{9}\gt \dfrac{4}{9}$ Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu werfen, ist größer, als dass der Würfel zweimal hintereinander verschiedene Farben anzeigt.
  $\Rightarrow$ Der Lehrer hat recht.
  Bemerkung:
  Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedene Farben zu werfen, kannst du auch als Gegenwahrscheinlichkeit zu "zweimal die gleiche Farbe" als
  $1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}$ berechnen.
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2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal grau geworfen wird. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
  Wahrscheinlichkeit weiß und dann grau zu werfen: $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$
  Wahrscheinlichkeit grau und dann weiß zu werfen: $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$
  Wahrscheinlichkeit grau und nochmal grau zu werfen: $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$
  $\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{9}$
  Die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal grau zu werfen beträgt $\dfrac{8}{9}$ .
  Bemerkung:
  Du kannst die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal grau" auch als Gegenwahrscheinlichkeit zu "zweimal weiß" berechnen.
  Wahrscheinlichkeit für zweimal weiß: $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$
  Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal grau: $1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$
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  Berechne "erst weiß, dann grau".
  Berechne "erst grau und dann weiß".
  Berechne "erst grau und dann nochmals grau".
  Addiere die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.