Bestimmen Sie $D_f$ sowie die Nullstellen von $f$ und geben Sie jeweils die Art der Definitionslücken von $f$ an.

$G_f$ besitzt genau vier lokale Extrempunkte. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte $H_1$ und $T_1$ ergeben sich auf zwei Nachkommastellen gerundet zu $H_1 (3{,}26| - 4{,}74)$ bzw. $T_1 (0{,}61| - 0{,}11)$. Zeigen Sie rechnerisch, dass $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und geben Sie anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte $H_2$ und $T_2$ an.

Ermitteln Sie für jede Asymptote von $G_f$ ihre Art und ihre Gleichung.

$G_f$ schneidet die x-Achse für $x > 0$ im Punkt $N$ (siehe Abbildung). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $N$.

[Teilergebnis: $f'(x)=\dfrac{-4x^4+11x^2-4}{(4-x^2)^2}$ ]

Gegeben sind die Gleichungen der zweiten, dritten und vierten Ableitungsfunktion der Funktion $f$:

$f''(x)= \dfrac{6(x^3+12x)}{(4-x^2)^3}$

$f'''(x)=\dfrac{18(x^4+24x^2+16)}{(4-x^2)^4}$

$f''''(x)=\dfrac{72(x^5+40x^3+80x)}{(4-x^2)^5}$

(Nachweis nicht erforderlich!)

Es gilt: $D_f''=D_f'''=D_f''''$

Untersuchen Sie die vierte Ableitungsfunktion $f''''$ auf Nullstellen. Tragen Sie ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion $f'''''$ ein.

$f'''''(x)=\dfrac{\square \cdot (x^{\square}+60x^{\square}+240x^{\square}+64}{(4-x^2)^{\square}}$