Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene $E : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = 10$ sowie die Punkte $P (6 | 2 | 4)$ und $Q (– 6 | 22 | 12)$ gegeben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden $g$ , die die Punkte $P$ und $Q$ enthält, und zeigen Sie, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Ermittle eine Gleichung der Geraden $g$ , die die Punkte $P$ und $Q$ enthält
Es ist $g_{P Q} : \vec{x} = \vec{O Q} + r \cdot \vec{Q P} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 22 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 - (- 6) \\ 2 - 22 \\ 4 - 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 22 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 20 \\ - 8 \end{array})$
Die Gleichung der Geraden $g$ , die die Punkte $P$ und $Q$ enthält, lautet:
$g_{P Q} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 22 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 20 \\ - 8 \end{array})$ .
Zeige, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet
Gegeben sind $E : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = 10$ und $g_{P Q} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 22 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 20 \\ - 8 \end{array})$ .
Der Richtungsvektor von $g_{P Q}$ muss parallel zum Normalenvektor der Ebene $E$ sein:
$\vec{Q P} = (\begin{array}{c} 12 \\ - 20 \\ - 8 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 5 \\ - 2 \end{array})$ $\Rightarrow {\vec{n}}_{E} \cdot 4 = \vec{Q P}$ $\Rightarrow$ die beiden Vektoren sind kollinear
(d.h. die Vektoren verlaufen parallel zueinander).
$\Rightarrow g_{P Q} ⟂ E$
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Teil 1
Berechne $g_{P Q} : \vec{x} = \vec{O Q} + r \cdot \vec{Q P}$ .
Teil 2
Zeige, dass der Richtungsvektor von $g_{P Q}$ parallel zum Normalenvektor der Ebene $E$ sein muss.
Die Ebene $F$ enthält den Punkt $P$ und liegt parallel zur Ebene $E$ . Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $F$ . (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Bestimme eine Gleichung der Ebene $F$
$E : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = 10 \Rightarrow F : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = d$
Es gilt: $P (6 | 2 | 4) \in F \Rightarrow 3 \cdot 6 - 5 \cdot 2 - 2 \cdot 4 = d \Rightarrow d = 0$
Die Gleichung der Ebene $F$ lautet $F : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = 0$
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Es ist $F : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = d$ .
Setze P(6|2|4) in $F$ ein, um $d$ zu bestimmen.

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Ermittle eine Gleichung der Geraden g, die die Punkte P und Q enthält

Zeige, dass die Gerade g die Ebene E senkrecht schneidet

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Bestimme eine Gleichung der Ebene F

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Ermittle eine Gleichung der Geraden $g$ , die die Punkte $P$ und $Q$ enthält

Zeige, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet

Bestimme eine Gleichung der Ebene $F$