Bestimme einen Vektor $\overrightarrow{c}$, der senkrecht zu $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ steht

Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren:

$\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 11\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{c}$, der senkrecht zu $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ steht, ist $\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 11\end{array}\right)$.

Begründe ohne Rechnung, ob die Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ eine Basis des ${ℝ}^3$ bilden

Ja, die drei Vektoren bilden eine Basis, da $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ keine Vielfache voneinander sind (sie sind nicht kollinear) und $\overrightarrow{c}$ steht senkrecht auf $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$.

Überprüfe auch, ob die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ senkrecht aufeinander stehen

$\overrightarrow{a}⟂\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=0$

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)=2-5+0=-3\ne 0$

Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ stehen nicht senkrecht aufeinander.