Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Ein Anbau eines Gebäudes wird durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0| 0), B(5|0| 0), C(5|4| 0)$ , $D(0|4| 0), E(0|0| 4), F(5|0| 4), G(5|3| 3)$ und $H(0|3| 3)$ beschrieben.

Das Viereck $EFGH$ stellt das Glasdach dar, das

Viereck $A B F E$ eine geschlossene Wand. Die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die $x_{1} x_{2}$ -Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Begründen Sie, dass das Viereck $B C G F$ ein Drachenviereck ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität
Nachweis des Drachenvierecks
Wir berechnen die Längen der Vektoren $\overrightarrow{BF}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{GF}$ und $\overrightarrow{GC}$
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{BF}|=4$
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{BG}|=4$
$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OG}=\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{GF}|=\sqrt{0+9+1}=\sqrt{10}$
$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG}=\begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{GC}|=\sqrt{0+1+9}=\sqrt{10}$
Da die Paare aneinandergrenzenden Seiten jeweils die selbe Länge haben handelt es sich um ein Drachenviereck.
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Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{BF}$ und $\overrightarrow{BC}$ und genauso die Vektoren $\overrightarrow{GF}$ und $\overrightarrow{GC}$ gleich lang sind.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{G F}$ und $\overline{G C}$ einschließen. (3 BE)

Die Punkte $A, B$ und $G$ liegen in der Ebene $L$ .
Zeigen Sie, dass $\overrightarrow{G H}$ ein Spannvektor von $L$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform
Ebene aufstellen
Die Ebene enthält die Punkte $A$ , $B$ und $G$ :
$E:~\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AG}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}$
Wir zeigen, dass der Vektor $\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\0\\0\end{pmatrix}$ von der Ebene aufgespannt wird. Hier zeigt sich, dass der zweite Richtungsvektor in der Parameterform fast identisch mit $\overrightarrow{GH}$ ist.
Für $t=0$ und $s=-1$ wird in der Ebene genau dieser Vektor aufgespannt:
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Bestimme die Parameterform der Ebene L.
Berechne den Vektor $\overrightarrow{G H}$ und bestimme die Parameter der Ebene so, dass dieser aufgespannt wird.
Begründen Sie, dass das Viereck $A B G H$ das Prisma $A B C D E F G H$ in zwei zueinander symmetrische Teilkörper teilt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Begründung
In Teilaufgabe (a) wurde gezeigt, dass die Figur $B C G F$ ein Drachenviereck ist.
Die Strecke $\overline{BG}$ entspricht genau der Symmetrieachse dieser Figur und teilt sie in zwei gleich große Hälften
Der Prisma ist ein gerade Körper, denn die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Das Viereck $A B G H$ teilt den Körper in zwei Hälften, weil es auch senkrecht auf der Grundfläche steht.
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Begründe, dass die Strecke $\overline{BG}$ das Drachenviereck $B C G F$ halbiert.
Verwende, dass dieser Prisma ein gerader Körper ist.
Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{E F}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.
Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit, mit der das Rollo herabgelassen wird, in Zentimeter pro Sekunde. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Geschwindigkeit des Rollos
Die Strecke $\overline{GF}$ , an der der Rollo entlang fährt, hat eine Länge von:
$|\overline{GF}|=\sqrt{10}$ m (aus Teilaufgabe (b))
Die Geschwindigkeit ist damit: $v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{\sqrt{10}~\text{m}\cdot 100~\dfrac{\text{cm}}{\text{m}}}{60~\text{s}}\approx 5{,}3~\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$
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Berechne die Länge der Strecke $\overline{GF}$ .
Berechne das Verhältnis von Strecke und Zeit.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)$ beschrieben werden.
Das vollständig herabgelassene Rollo erzeugt auf der geschlossenen Wand einen Schatten. Dieser soll in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene grafisch dargestellt werden. Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:
Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Lösungsschritts und zeichnen Sie den Schatten in die folgende Abbildung ein. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Beschreibung des Lösungsschrittes
Der Lösungsschritt
$\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}~\text{liefert }~r=3~~\text{und damit }~(3\mid0\mid -3)$
berechnet den Spurpunkt der Gerade, die den Schatten modelliert, in der $x_1x_3$ -Ebene. Der Punkt $(3|0|-3)$ ist damit der Spurpunkt der Gerade.
Skizze des Schattens
Der Spurpunkt kann in der Skizze eingezeichnet werden. Dort trifft der Schatten vom Punkt $H$ ein.
Da das Rollo im Punkt $E$ anfängt, zieht sich der Schatten vom Spurpunkt bis $E$ hoch.
Da das Licht parallel eintrifft, kann der Schatten durch eine Parallele in $x_1$ -Richtung weiter gezeichnet werden.
Der Schatten liegt nicht vollständig auf der Wand $ABEF$ . Er überdeckt nur diesen Teil:
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Die Gerade beschreibt den Schatten ausgehend vom Punkt $H$ .
Beschreibe, welcher Punkt im angegebenen Lösungsschritt berechnet wurde.
Zeichne den Schatten ein.

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix} }{ \sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{10}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{-6}{10}\right)$
	$≈$	$\displaystyle 126{,}87°$

Aufgabe 3A

Nachweis des Drachenvierecks

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Vektoren bestimmen

Winkel berechnen

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Ebene aufstellen

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Begründung

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Geschwindigkeit des Rollos

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Beschreibung des Lösungsschrittes

Skizze des Schattens

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