Heft 2 - B3

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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Firma Frosti stellt Winterjacken her. Sie möchte ihren Gewinn vergrößern und untersucht deshalb, wie die Herstellungskosten und der Erlös von der produzierten und verkauften Stückzahl $x$ abhängen. Die Kostenfunktion wird mit $k(x)=80 x+60000$ und die Erlösfunktion mit $e(x)=0{,}1 x(4000-x)$ beschrieben.
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der Kostenfunktion $k$ und der Erlösfunktion e.
1. Lies ab, wie viele Winterjacken bei Kosten von $400000 €$ hergestellt werden können. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Um die Anzahl der Winterjacken zu bestimmen, gehen wir zunächst auf der $y$ -Achse hoch bis zu $400000$ und dann solange parallel zur $x$ -Achse nach rechts, bis wir die Kostenfunktion schneiden. Von dort gehen wir dann wieder runter zur $x$ -Achse und lesen den $x$ -Wert ab (vgl. Bild).
  Insgesamt erhalten wir somit, dass $4250$ Winterjacken bei Kosten von $400000€$ hergestellt werden können.
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2. Gib an, für welche Anzahl an verkauften Winterjacken der Erlös maximal ist. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Man sieht in der Abbildung gut das Maximum der Erlösfunktion bei ca. $x=2000$ .
  Also ist für $2000$ verkaufte Winterjacken der Erlös maximal.
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3. Gib den Erlös für 500 verkaufte Winterjacken an. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Wir gehen ähnlich wie bei Aufgabenteil (a) vor und gehen zunächst auf der $x$ -Achse zum Wert $x=500$ .
  Von dort gehen wir nach oben bis wir die Erlösfunktion schneiden und lesen den zugehörigen $y$ -Wert ab.
  Dadurch erhalten wir, dass der Erlös für $500$ verkaufte Winterjacken $175000€$ beträgt.
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Um Gewinn zu machen, muss der Erlös größer als die Kosten sein.

Markiere diesen Bereich auf der $x$ -Achse. (1 Punkt)

Indem wir auf die $x$ -Achse die $x$ -Werte der Schnittpunkte von $k(x)$ und $e(x)$ abtragen, erhalten wir zum Beispiel eine Skizze wie die Folgende:
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Berechne, bei welchen Stückzahlen die Erlöse und die Kosten gleich sind. (3 Punkte)

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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Um den Gewinn zu bestimmen, müssen bei gleicher Stückzahl die Kosten vom Erlös subtrahiert werden.
Bestimme den Gewinn für 2000 Jacken. (2 Punkte)

Wie bereits in der Aufgabenstellung beschrieben, müssen wir die Kosten bei einer Stückzahl von $2000$ von dem Erlös bei einer Stückzahl von $2000$ subtrahieren.
Wir erhalten also:
Der Gewinn bei $2000$ verkauften Winterjacken beträgt somit $180000€$ .

Um den Gewinn zu bestimmen, müssen die Kosten vom Erlös subtrahiert werden. Es entsteht die Gewinnfunktion mit $g(x)=e(x)-k(x)$ .

Bei der Umformung des Terms für $g(x)$ sind zwei Fehler passiert.
$g(x)=0{,}1 x(4000-x)-(80 x+60000)$
$g(x)=4000 x-0{,}1 x^{2}-80 x+60000$
Erläutere die beiden Fehler. (2 Punkte)

Fehler 1
Klammer ausmultiplizieren:
Bei der ersten Klammer wurde das Distributivgesetz nicht richtig angewendet, es müssen nämlich beide Terme in der Klammer mit $0{,}1$ multipliziert werden.
Richtig wäre also $400x$ statt $4000x$ .
Fehler 2
Klammer auflösen:
Beim Auflösen der letzten Klammer wurde vergessen, dass das Pluszeichen zu einem Minus geändert werden muss, da vor der Klammer ein Minus steht.
Richtig wäre also $-60000$ statt $+60000$ .
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Die korrekte Funktionsgleichung lautet $g(x)=-0{,}1 x^{2}+320 x-60000$ .
Bestimme damit den maximalen Gewinn und die zugehörige Anzahl der verkauften Winterjacken. (2 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Wir bringen die Funktionsgleichung der Parabel mithilfe von quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform.
Dafür rechnen wir wie folgt:
Nun können wir direkt ablesen, dass der Gewinn bei einer Stückzahl von $1600$ verkauften Winterjacken maximal ist und in diesem Fall $196000€$ beträgt.
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Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, zum Beispiel, indem Du die obige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform bringst.

Die Firma möchte einen Gewinn von $115000 €$ erzielen.

Berechne, wie viele Jacken die Firma verkaufen muss, um diesen Gewinn zu erzielen. (2 Punkte)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e\left(x\right)$
	↓	Einsetzen der Funktionsgleichungen
$\displaystyle 80x+60000$	$=$	$\displaystyle 0{,}1x(4000−x)$
	↓	Rechte Seite ausmultiplizieren
$\displaystyle 80x+60000$	$=$	$\displaystyle 400x-0{,}1x^2$	$\displaystyle +0{,}1x^2-400x$
$\displaystyle 0{,}1x^2-320x+60000$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 115000$
	↓	Einsetzen der Funktionsgleichung
$\displaystyle -0{,}1x^2+320x-60000$	$=$	$\displaystyle 115000$	$\displaystyle -115000$
$\displaystyle -0{,}1x^2+320x-175000$	$=$	$\displaystyle 0$

Heft 2 - B3

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Fehler 1

Fehler 2

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