Heft 2 - B3 - lernen mit Serlo!

Um den Gewinn zu bestimmen, müssen die Kosten vom Erlös subtrahiert werden. Es entsteht die Gewinnfunktion mit $g (x) = e (x) - k (x)$ .

Bei der Umformung des Terms für $g (x)$ sind zwei Fehler passiert.
$g (x) = 0,1 x (4000 - x) - (80 x + 60000)$
$g (x) = 4000 x - 0,1 x^{2} - 80 x + 60000$
Erläutere die beiden Fehler. (2 Punkte)

Fehler 1
Klammer ausmultiplizieren:
Bei der ersten Klammer wurde das Distributivgesetz nicht richtig angewendet, es müssen nämlich beide Terme in der Klammer mit $0,1$ multipliziert werden.
Richtig wäre also $400 x$ statt $4000 x$ .
Fehler 2
Klammer auflösen:
Beim Auflösen der letzten Klammer wurde vergessen, dass das Pluszeichen zu einem Minus geändert werden muss, da vor der Klammer ein Minus steht.
Richtig wäre also $- 60000$ statt $+ 60000$ .
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Die korrekte Funktionsgleichung lautet $g (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000$ .
Bestimme damit den maximalen Gewinn und die zugehörige Anzahl der verkauften Winterjacken. (2 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Wir bringen die Funktionsgleichung der Parabel mithilfe von quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform.
Dafür rechnen wir wie folgt:
$\begin{aligned} g (x) & = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000 = - 0,1 (x^{2} - 3200 x) - 60000 \\ = - 0,1 (x^{2} - 3200 x + {(\frac{3200}{2})}^{2} - {(\frac{3200}{2})}^{2}) - 60000 \\ = - 0,1 (x^{2} - 2 \cdot 1600 x + 1600^{2}) + 0,1 \cdot 1600^{2} - 60000 \\ = - 0,1 (x - 1600)^{2} + 196000 \end{aligned}$
Nun können wir direkt ablesen, dass der Gewinn bei einer Stückzahl von $1600$ verkauften Winterjacken maximal ist und in diesem Fall $196000 €$ beträgt.
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Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, zum Beispiel, indem Du die obige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform bringst.
Die Firma möchte einen Gewinn von $115000 €$ erzielen.
Berechne, wie viele Jacken die Firma verkaufen muss, um diesen Gewinn zu erzielen. (2 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)
Wir setzen die Gewinnfunktion mit dem gewünschten Gewinn gleich und formen nach $x$ um:
$g (x)$ $=$ $115000$
↓
Einsetzen der Funktionsgleichung
$- 0,1 x^{2} + 320 x - 60000$ $=$ $115000$ $- 115000$
$- 0,1 x^{2} + 320 x - 175000$ $=$ $0$
Anwenden der Mitternachtsformel liefert nun
$\begin{aligned} x_{1} & = \frac{- 320 - \sqrt{320^{2} - 4 \cdot (- 0,1) \cdot (- 175000)}}{2 \cdot (- 0,1)} = \frac{- 320 - \sqrt{32400}}{- 0,2} \\ = (- 320 - 180) \cdot (- 5) = 2500 \end{aligned}$
und
$\begin{aligned} x_{2} & = \frac{- 320 + \sqrt{320^{2} - 4 \cdot (- 0,1) \cdot (- 175000)}}{2 \cdot (- 0,1)} = \frac{- 320 + \sqrt{32400}}{- 0,2} \\ = (- 320 + 180) \cdot (- 5) = 700 \end{aligned}$
Die Firma muss also $700$ oder $2500$ Jacken verkaufen, um einen Gewinn von $115000 €$ zu erzielen.
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Setze die Gewinnfunktion mit dem gewünschten Gewinn gleich, $g (x) = 115000$ .
Löse dann nach $x$ auf.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$g (x)$	$=$	$115000$
	↓	Einsetzen der Funktionsgleichung
$- 0,1 x^{2} + 320 x - 60000$	$=$	$115000$	$- 115000$
$- 0,1 x^{2} + 320 x - 175000$	$=$	$0$

Fehler 1

Fehler 2

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