Heft 2 - B3 - lernen mit Serlo!

Um den Gewinn zu bestimmen, müssen die Kosten vom Erlös subtrahiert werden. Es entsteht die Gewinnfunktion mit $g (x) = e (x) - k (x)$ .

Bei der Umformung des Terms für $g (x)$ sind zwei Fehler passiert.
$g (x) = 0,1 x (4000 - x) - (80 x + 60000)$
$g(x)=4000 x-0{,}1 x^{2}-80 x+60000$
Erläutere die beiden Fehler. (2 Punkte)

Fehler 1
Klammer ausmultiplizieren:
Bei der ersten Klammer wurde das Distributivgesetz nicht richtig angewendet, es müssen nämlich beide Terme in der Klammer mit $0,1$ multipliziert werden.
Richtig wäre also $400 x$ statt $4000 x$ .
Fehler 2
Klammer auflösen:
Beim Auflösen der letzten Klammer wurde vergessen, dass das Pluszeichen zu einem Minus geändert werden muss, da vor der Klammer ein Minus steht.
Richtig wäre also $- 60000$ statt $+ 60000$ .
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Die korrekte Funktionsgleichung lautet $g(x)=-0{,}1 x^{2}+320 x-60000$ .
Bestimme damit den maximalen Gewinn und die zugehörige Anzahl der verkauften Winterjacken. (2 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Wir bringen die Funktionsgleichung der Parabel mithilfe von quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform.
Dafür rechnen wir wie folgt:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} g(x)&=-0{,}1 x^{2}+320 x-60000 = -0{,}1(x^2-3200x)-60000\\ &=-0{,}1\left(x^2 - 3200x + \left(\frac{3200}{2}\right)^2 - \left(\frac{3200}{2}\right)^2\right)-60000\\ &=-0{,}1(x^2-2\cdot 1600x+1600^2)+0{,}1\cdot 1600^2-60000\\ &= -0{,}1(x-1600)^2 + 196000 \end{aligned}$
Nun können wir direkt ablesen, dass der Gewinn bei einer Stückzahl von $1600$ verkauften Winterjacken maximal ist und in diesem Fall $196000 €$ beträgt.
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Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, zum Beispiel, indem Du die obige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform bringst.

Die Firma möchte einen Gewinn von $115000 €$ erzielen.

Berechne, wie viele Jacken die Firma verkaufen muss, um diesen Gewinn zu erzielen. (2 Punkte)

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 115000$
	↓	Einsetzen der Funktionsgleichung
$\displaystyle -0{,}1x^2+320x-60000$	$=$	$\displaystyle 115000$	$\displaystyle -115000$
$\displaystyle -0{,}1x^2+320x-175000$	$=$	$\displaystyle 0$

Fehler 1

Fehler 2

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