Aufgaben zu Integralen - lernen mit Serlo!

Die Funktion $v (t) = - 15 t^{2} + 90 t$ gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ während einer sechsstündigen Autofahrt an.

Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?

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$\displaystyle \displaystyle \overline {v}$	$=$	$\displaystyle \dfrac {1}{6}\displaystyle\int _{0}^{6}(-15t^2+90t)\,\mathrm {d} t$
	↓	Bilde die Stammfunktion.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{6}\left[-\dfrac{15}{3}t^3+45t^2\right]_0^6$
	↓	In die Klammer wird für t der obere Wert $6$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $0$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{6}\left(\left(-\dfrac{15}{3}\cdot6^3+45\cdot 6^2\right)-0\right)$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\left(-1080+1620\right)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{540}{6}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle 90$