Teil 1 Analysis

Gegeben sind die Funktionen $a:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$ mit $D_a=ℝ$ \ {0} und $b:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}x$ mit $D_b=ℝ$. Der Graph der Funktion $a$ heißt $G_a$ und der Graph der Funktion $b$ heißt $G_b$. In der Abbildung ist ein Teil des Graphen $G_a$ für $x>0$ und der Graph $G_b$ dargestellt. $G_b$ ist die schräge Asymptote von $G_a$.

Von einer gebrochenrationalen Funktion $c$ mit der Definitionsmenge $D_c=ℝ$ \ {$1;1$} und ihrem Graphen $G_c$ sind die folgenden Eigenschaften bekannt:

-Die Funktion $c$ hat eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=1$.

-Die Funktion $c$ hat eine stetig behebbare Definitionslücke bei $x=\text{–}1$.

-Die Funktion $c$ hat die einzige Nullstelle $x=2$ mit der Vielfachheit zwei.

-Es gilt: $P(-3|5)\in G_c$.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion $c$ so, dass die genannten Eigenschaften erfüllt sind.

Gegeben sind in ihren maximalen Definitionsmengen die reellen Funktionen

$f:x\mapsto \ln (x)$

$g:x\mapsto x\cdot \ln (x^2)$

$h:$ $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}\ln (x-1)$

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f,g$ und $h$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Funktion $q$ mit dem Scheitel $S(1|2)$.

Für die Funktion $r$ gilt: $r(x)=e^{q(x)}$. Für beide Funktionen gilt: $D_q=D_r=ℝ$.

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die Wertemenge der Funktion $r$. Begründen Sie dabei Ihre Vorgehensweise.