Teil 1 Analysis

Gegeben sind die Funktionen $a:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{2}{x}}a:x\backslash mapsto\backslash dfrac\{1\}\{2\}x+\backslash dfrac\{2\}\{x\}$ mit $D_a=\mathbb{R}D\_a=\; \backslash mathbb\{R\}$ \ {0} und $b:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}xb:x\backslash mapsto\backslash dfrac\{1\}\{2\}x$ mit $D_b=\mathbb{R}D\_b=\; \backslash mathbb\{R\}$. Der Graph der Funktion $aa$ heißt $G_{a}G\_a$ und der Graph der Funktion $bb$ heißt $G_{b}G\_b$. In der Abbildung ist ein Teil des Graphen $G_{a}G\_a$ für $x>0x\; >\; 0$ und der Graph $G_{b}G\_b$ dargestellt. $G_{b}G\_b$ ist die schräge Asymptote von $G_{a}G\_a$.

Von einer gebrochenrationalen Funktion $cc$ mit der Definitionsmenge $D_c=\mathbb{R}D\_c=\backslash mathbb\{R\}$ \ {$1;1\{\; 1;\; 1\}$} und ihrem Graphen $G_{c}G\_c$ sind die folgenden Eigenschaften bekannt:

-Die Funktion $cc$ hat eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=1x\; =\; 1$.

-Die Funktion $cc$ hat eine stetig behebbare Definitionslücke bei $x=\text{–}1x\; =\; –1$.

-Die Funktion $cc$ hat die einzige Nullstelle $x=2x\; =\; 2$ mit der Vielfachheit zwei.

-Es gilt: $P(-3\mathrm{\mid }5)\in G_{c}P(\; -3\; |5)\; \backslash in\; G\_c$.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion $cc$ so, dass die genannten Eigenschaften erfüllt sind.

Gegeben sind in ihren maximalen Definitionsmengen die reellen Funktionen

$f:x\mapsto \ln (x)f\; :\; x\; \backslash mapsto\; \backslash ln(x)$

$g:x\mapsto x\cdot \ln (x^2)g\; :\; x\; \backslash mapsto\; x\backslash cdot\; \backslash ln(x^2)$

$h:h:$ $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}\ln (x-1)x\; \backslash mapsto\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}\backslash ln(x-1)$

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f,gf,\; g$ und $hh$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Funktion $qq$ mit dem Scheitel $S(1\mathrm{\mid }2)S(1\; |2)$.

Für die Funktion $rr$ gilt: $r(x)=e^{q(x)}r(x)=e^\{q(x)\}$. Für beide Funktionen gilt: $D_q=D_r=\mathbb{R}D\_q=D\_r=\backslash mathbb\{R\}$.

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die Wertemenge der Funktion $rr$. Begründen Sie dabei Ihre Vorgehensweise.