Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders
(vgl. Abbildung).
Die Eckpunkte $A (1 ∣ 2 ∣ 1), B, C (- 3 ∣ - 6 ∣ 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der
Gleichung $2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 6 = 0$ .
1. Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Die Kantenlänge des Würfels soll 12 betragen
  Berechne den Betrag des Vektors $\overrightarrow{AC}$ .
  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-3\\-6\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-8\\8\end{pmatrix}$
  $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{16+64+64}=\sqrt{144}=12$
  Die Kantenlänge des Würfels beträgt $12\;\text{LE}$ .
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  Berechne den Betrag des Vektors $\overrightarrow{AC}$ .
2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
  Die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in H liegen.
  Die Spitze $S$ der oberen Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt von $\overline{AC}$ .
  $\overrightarrow{OM_{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1-3\\2-6\\1+9\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2\\-4\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}$
  Weiterhin kann der Normalenvektor der Ebene $H$ abgelesen werden:
  $\vec n_H=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$
  Sein Betrag ist $\left|\vec n_H\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$ .
  Da die Kantenlänge des Würfels $12$ ist, ist die Höhe einer Pyramide gleich $6$ .
  Da der Betrag des Normalenvektors $3$ beträgt, muss er zweimal zum Vektor $\overrightarrow{OM_{AC}}$ addiert werden, um zur Pyramidenspitze $S$ zu gelangen ( $h=6=2\cdot \left|\vec n_H\right|$ ).
  Dann folgt für den Vektor $\overrightarrow{OS}$ :
  $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM_{AC}}+2\cdot \vec n_H=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+4\\-2+2\\5+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\9\end{pmatrix}$
  Der eine Eckpunkt $S$ des Oktaeders hat die Koordinaten $S (3 ∣ 0 ∣ 9)$ .
  Ergänzung (nicht in der Aufgabenstellung gefordert):
  Der andere Eckpunkt $S^{'}$ , der nicht in $H$ liegt, ist dann:
  $\overrightarrow{OS'}=\overrightarrow{OM_{AC}}-2\cdot \vec n_H=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-4\\-2-2\\5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\1\end{pmatrix}$
  Der andere Eckpunkt des Oktaeders $S^{'}$ hat die Koordinaten $S^{'} (- 5 ∣ - 4 ∣ 1)$ .
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  Bestimme den Mittelpunkt von $\overline{AC}$ $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OM_{AC}}$
  Lies den Normalenvektor der Ebene $H$ ab und berechne seinen Betrag.
  Da die Kantenlänge des Würfels $12$ ist, ist die Höhe einer Pyramide gleich $6$ .
  Überlege Dir, wie oft der Normalenvektor zum Vektor $\overrightarrow{OM_{AC}}$ addiert werden muss, um die Spitze $S$ der oberen Pyramide zu erreichen.

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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Kantenlänge des Würfels soll 12 betragen

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Die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in H liegen.

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