Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe Q6

Die Abbildung zeigt die Punkte $A, B$ und $P$ . Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

Betrachtet werden Geraden $𝑔, 𝑔^{*}$ und $h$ , für die gilt:

$g$ verläuft durch $A$ , $g^{*}$ durch $B$ und $h$ durch $P$ .
$g$ und $g^{*}$ schneiden sich in $P$ .
Wird $g$ an $h$ gespiegelt, so entsteht $g^{*}$ .

Zeichnen Sie die Gerade $g$ , die Gerade $g^{*}$ und eine Gerade $h ℎ$ in die Abbildung ein.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $𝐴$ , $𝐵$ und $𝑃$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $h ℎ$ bestimmt werden kann. [5 BE]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Zeichne die Gerade $𝑔$ , die Gerade $𝑔^{*}$ und eine Gerade $h ℎ$ in die Abbildung ein

Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $𝐴$ , $𝐵$ und $𝑃$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $h ℎ$ bestimmt werden kann

Die gesuchte Gerade $h$ ist Winkelhalbierende im Schnittpunkt $P$ der Geraden $g$ und $g^\ast$ . Für diese Winkelhalbierende gibt es zwei Möglichkeiten, die beispielhaft in den beiden Lösungsvarianten eingezeichnet sind.

Es werden zwei Möglichkeiten zur Konstruktion eines Punktes $D$ auf $h$ angegeben.

Lösungsmöglichkeit 1

Skizze zur Veranschaulichung:

Finde einen Punkt $C$ auf der Geraden $g$ , der an $h$ gespiegelt den Punkt $B$ ergibt.

Dabei gilt: $|\overrightarrow{BP}|=|\overrightarrow{PC}|$ und $\overrightarrow{PC}=\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{AP}|}\cdot \overrightarrow{AP}$

Addiert man zum Vektor $\overrightarrow{OB}$ den Vektor $\overrightarrow{PC}$ kommt man zu einem Punkt $D$ auf der Geraden $h$ :

Das Viereck $B P C D$ ist eine Raute, da alle Seiten gleich lang sind (die Seite $C D$ entsteht ja durch Verschiebung von $B P$ ) und die Gerade $h$ durch $P$ und $C$ ist als Diagonale eine Symmetrieachse.

Der gesuchte Term ist also:

\displaystyle \overrightarrow{OB}+\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{AP}|}\cdot \overrightarrow{AP}

Lösungsmöglichkeit 2

Konstruiere einen Punkt $C$ auf der Strecke von $A$ nach $P$ , der denselben Abstand zu $P$ wie $B$ hat.

Der Mittelpunkt von $B$ und $C$ liegt dann auf der Geraden $h$ .

Finde einen Punkt $C$ auf der Geraden $g$ , der an $h$ gespiegelt den Punkt $B$ ergibt.

Dabei gilt: $|\overrightarrow{BP}|=|\overrightarrow{PC}|$ und $\overrightarrow{PC}=\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{PA}|}\cdot \overrightarrow{PA}$

Addiert man zum Vektor $\overrightarrow{OC}$ die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{CB}$ kommt man zu einem Punkt $D$ auf der Geraden $h$ .

Der gesuchte Term ist also:

$\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CB}=\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{PA}|}\cdot \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CB}$

Der Vektor $\overrightarrow{CB}$ muss noch umgeformt werden:

$\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{OP}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{PC}\right)$

$\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{PC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}-\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{PA}|}\cdot \overrightarrow{PA}\right)$

Damit erhält man:

$\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{PA}|}\cdot \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{PB}-\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{PA}|}\cdot \overrightarrow{PA}\right)$

Zusammengefasst:

\displaystyle \overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{PB}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{|\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{PA}|}\cdot \overrightarrow{PA}

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Aufgabe Q6

Zeichne die Gerade 𝑔𝑔g, die Gerade 𝑔∗𝑔^∗g∗ und eine Gerade hℎh in die Abbildung ein

Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten 𝐴𝐴A, 𝐵𝐵B und 𝑃𝑃P der Ortsvektor eines weiteren Punktes von hℎh bestimmt werden kann

Lösungsmöglichkeit 1

Lösungsmöglichkeit 2

Zeichne die Gerade $𝑔$ , die Gerade $𝑔^{*}$ und eine Gerade $h ℎ$ in die Abbildung ein

Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $𝐴$ , $𝐵$ und $𝑃$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $h ℎ$ bestimmt werden kann